Задача 62621 Дано: f(x)=x^4-16/3x^3+8x^2-1/3 a)...

5f42a255b5ac0b3cc606fbf7

15.01.2022 20:55:32

Дано: f(x)=x^4-16/3x^3+8x^2-1/3
a) найдите точки экстремума, определите вид экстремума
б) найдите промежутки возрастание и убывание функций
с) найдите точки перегиба графика функции
д) найдите выпуклость и вогнутость функции

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.01.2022 22:25:50

★

1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция не является НИ четной, Ни нечётной
у(-х)=(-x)^4–(16/3)*(-x)^3+8*(-x)^2–(1/3)=x^4+(16/3)*x^3+8*x^2–(1/3)

y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)


3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=+бесконечность.

Горизонтальных асимптот нет

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→бесконечность)(x^4-(16/3)*x^3+8*x^2–(1/3))/x=бесконечность

4) f(x)=0
x^4-(16/3)*x^3+8*x^2–(1/3)=0

x^2=3 или x^2=-1 ( уравнение не имеет корней)



x^2=3 ⇒ x= ± sqrt(3) -Точки пересечения с осью Ох.

При х=0
у=0^4–(16/3)*0+8*0–(1/3)=-(1/3)

(0;-(1/3)) - точка пересечения с осью Оу.

5)
y`=(x^4-(16/3)*x^3+8*x^2–(1/3))`

y`=4x^3-16x^2+16x

y`=0

4x^3-16x^2+16x=0
4x*(x^2-4x+4)=0

x=0 или x^2-4x+4=0⇒х=2

Знак производной

_-__ (0) ___+___ (2) __+__


x=0 –минимума, производная меняет знак с - на +

y`<0 при x∈ (-бесконечность;0)
Функция убывает при x∈ (-бесконечность;2) и при x∈ (2;+бесконечность)

y`>0 при x∈ (0;2) и при x∈ (2;+бесконечность)
возрастает при x∈ (0;2) и при x∈ (2;+бесконечность)



7)y``=(4x^3-16x^2+16x)`=12x^2-32x+16

y``=0

12x^2-32x+16=0

3x^2-8x+4=0

D=64-48=16

x=2/3; x= 2 -точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вниз на (- бесконечность ;(2/3)) и на (2;+ бесконечность )
выпукла вверх на ((2/3);2)