Задача 62617 Основание прямой призмы треугольник с...

6048ddadc87bcc1c7d524453

15.01.2022 13:32:01

Основание прямой призмы треугольник с углами a i B. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания.

к которой прилегают данные углы, равна d и наклонена к

плоскости основания под углом у. Найдите объем призмы.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.01.2022 13:47:55

★

∠ BAC= α
∠ ABC= β

AB_(1)=A_(1)B=d - диагональ грани со стороной АВ, к которой прилегают углы α и β

∠ ВАВ_(1)= γ - угол наклона диагонали AB_(1)

т.е угол между прямой и плоскостью, а угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцийе на эту плоскость

АВ- проекция АВ_(1) на плоскость основания

Из прямоугольного треугольника АВВ_(1)

AB=dcos γ

BB_(1)=[b] dsin γ [/b] - высота призмы H


Осталось найти площадь основания со стороной АВ и углами α и β

AB=dcos γ
∠ BAC= α
∠ ABC= β

Можно найти третий угол треугольника.

∠ СAB=180 ° - α - β

Применить теорему синусов.
AB/sin( ∠ СAB)=BC/sin∠ BAC ⇒

dcos γ /sin( 180 ° - α - β )= BC/sin α

BC=dcos γ sin α /sin( 180 ° - α - β )

sin( 180 ° - α - β )=sin(α + β)


BC=[blue]dcos γ sin α /sin(α + β)[/blue]

Применить формулу

S_( Δ ABC) =( 1/2)AB*BC*sin ∠ B= (1/2)dcos γ *[blue](dcos γ sin α /sin(α + β))[/blue]*sin β


V=S_( Δ ABC) *H= (1/2)dcos γ *[blue](dcos γ sin α /sin(α + β))[/blue] *sin β *[b] dsin γ [/b]