Задача 62568 (1+cosx)/(1-sinx)=3...
Условие
Решение
Все решения
{1-sinx ≠ 0⇒ sinx≠ 1
1+сosx=3-3sinx ⇒ cosx+3sinx=2 ⇒
[red]Применяем формулы половинного аргумента[/red]:
[m]cosx=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}[/m]
[m]sinx=2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}[/m]
и
тригонометрическую единицу
[m]1=cos^2\frac{x}{2}+sin^2\frac{x}{2}[/m]
[m]cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}+3*2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}=2\cdot (cos^2\frac{x}{2}+sin^2\frac{x}{2})[/m] ⇒
[m]3sin^2\frac{x}{2}-6sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}=0[/m]- однородное тригонометрическое уравнение второй степени.
Делим на [m]cos^2\frac{x}{2}[/m]
[m]3tg^2\frac{x}{2}-6tg\frac{x}{2}+1=0[/m] - квадратное уравнение относительно [m]tg\frac{x}{2}[/m]
D=36-4*3*1=24
[m]tg\frac{x}{2}=\frac{6 ± 2\sqrt{6}}{6} [/m]
[m]\frac{x}{2}=arctg\frac{6 ± 2\sqrt{6}}{6} +πk, k ∈[/m][b]Z[/b]
[blue][m]x=2 arctg\frac{6 ± 2\sqrt(6)}{6} + 2πk, k ∈ [/m][/blue][b]Z[/b]
или
второй способ решения:
[m]cosx+3sinx=2 [/m]⇒
[red]Вводим вспомогательный угол[/red]
Делим уравнение на [m]\sqrt{10}[/m]
[m]\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot cosx+\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot sinx=\frac{2}{\sqrt{10}}[/m]
[m]cos φ =\frac{1}{\sqrt{10}}[/m]⇒ [m]φ =arccos\frac{1}{\sqrt{10}}[/m]
[m]sin φ= \frac{3}{\sqrt{10}} [/m]⇒[m] φ =arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}[/m]
Уравнение:
[m]cos φ \cdot cosx+sin φ \cdot sinx=\frac{2}{\sqrt{10}}[/m]
принимает вид:
[m]cos(x- φ )=\frac{2}{\sqrt{10}}[/m]
[m]x- φ = ± arccos\frac{2}{\sqrt{10}}+2πn, n ∈[/m] [b]Z[/b]
[m]x= φ ± arccos\frac{2}{\sqrt{10}}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
[blue][m]x= arccos\frac{1}{\sqrt{10}} ± arccos\frac{2}{\sqrt{10}}+2πn, n ∈ [/m][/blue][b]Z[/b] - о т в е т.