Задача 62556 составить уравнение сферы проходящей...
Условие
Решение
[m](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2[/m]
Подставляем координаты каждой точки в уравнение и получаем
систему четырех уравнений с четырьмя переменными:
[m]\left\{\begin {matrix}(1-a)^2+(-2-b)^2+(-1-c)^2=R^2\\(4-a)^2+(1-b)^2+(11-c)^2=R^2\\(-8-a)^2+(-2-b)^2+(2-c)^2=R^2\\(-5-a)^2+(10-b)^2+(-1-c)^2=R^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}(1-a)^2+(2+b)^2+(1+c)^2=R^2\\(4-a)^2+(1-b)^2+(11-c)^2=R^2\\(8+a)^2+(2+b)^2+(2-c)^2=R^2\\(5+a)^2+(10-b)^2+(1+c)^2=R^2\end {matrix}\right.[/m]
Вычитаем из четвертой строки первую
[m](5+a)^2-(1-a)^2+(10-b)^2-(2+b)^2=0[/m] ⇒ [m]6(4+2a)+12(8-2b)=0[/m] ⇒ [m]4+2a+16-4b=0[/m]⇒ [m]a=2b-10[/m]⇒[m]b=5+\frac{a}{2}[/m]
Вычитаем из первой строки третью:
[m](1-a)^2-(8+a)^2+(1+c)^2-(2-c)^2=0[/m]⇒ [m]9(-2a-7)+3(2c-1)=0[/m] ⇒ [m]c-9a-15=0[/m]⇒ [m]c=3a+11[/m]
И подставляем в первое и второе уравнение системы :
[m]\left\{\begin {matrix}(1-a)^2+(2+5+\frac{a}{2})^2+(1+3a+11)^2=R^2\\(4-a)^2+(1-5-\frac{a}{2})^2+(11-3a-11)^2=R^2\\c=3a+11\\a=2b-10\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}(1-a)^2+(7+\frac{a}{2})^2+(3a+12)^2=R^2\\(4-a)^2+(-\frac{a}{2}-4)^2+(3a)^2=R^2\\c=3a+11\\b=5+\frac{a}{2}\end {matrix}\right.[/m]
Вычитаем из первого второе
[m]\left\{\begin {matrix}(1-a)^2+(7+\frac{a}{2})^2+(3a+12)^2=R^2\\(1-a)^2-(4-a)^2+(7+\frac{a}{2})^2-(\frac{a}{2}+4)^2+(3a+12)^2-(3a)^2=0\\c=3a+11\\b=5+\frac{a}{2}\end {matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение.
[m](1-a)^2-(4-a)^2+(7+\frac{a}{2})^2-(\frac{a}{2}+4)^2(3a+12)^2-(3a)^2=0[/m]
[m]-3(5-2a)+3(11+a)+12(6a+12)=0[/m]
[m]5-2a-11-a-24a-48=0[/m]
Находим а:
[m]a=-2[/m]
[m]b=5+\frac{a}{2}=5-1=4[/m]
[m]c=3a+11=3\cdot (-2)+11=5[/m]
Подставляем в первое уравнение находим R:
[m](1+(-2))^2+(7+(-2))^2+((-2)+12)^2=R^2[/m]
[m]1+25+100=R^2[/m]
[m]R^2=126[/m]
О т в е т.
[m](x+2)^2+(y-4)^2+(z-5)^2=126[/m]