Задача 62550 Исследовать на непрерывность и...
Условие
Решение
На (- ∞ ;1) функция непрерывна, так как y=x^2+2x-1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ) ( рис. 1)
На (1;2) функция непрерывна, так как y=4-2x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ) (рис. 2)
На (2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=1/(x-2) непрерывна на (2 ;+ ∞ ) ( рис. 3)
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках х=1 и х=2
[b]х=1[/b]
Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x →1 -0)(x^2+2x-1)=(1-0)^2+2*(1-0)-1=2
Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)(4-2x)=4-2*(1+0)=2
предел слева = пределу справа ⇒ предел функции в точке существует и равен 2
Значение функции в точке равно 2 ⇒
Значит х=0 - [i]точка непрерывности[/i]
[b]x=2[/b]
Находим предел слева:
lim_(x →2 -0)f(x)=lim_(x → 2-0)(4-2x)=4-2*(2-0)=0
Находим предел справа:
lim_(x →2 +0)f(x)=lim_(x → 2+0)1/(x-2)=1/(2+0-2)=+ ∞
Функция имеет правосторонний [i]бесконечный[/i] предел.
х=2 - [i]точка разрыва второго рода[/i]
График на рис. 4
