Задача 62539 Кривые второго порядка. Смешанные ETNEL...

61daf90397c2c0551699851d

09.01.2022 18:04:43

Кривые второго порядка. Смешанные ETNEL 18 1. Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с гиперболой х* — 2у? = 24, если эксцентриситет его равен 3/5. 2. Найти длину стороны квадрата, вписанного в эллипс 9х? + 16y? = 576. 3. Найти расстояние от центра окружности х? + у? + 6х + 2y — 5 = 0 до асимптот гиперболы 9х? — 16у? = 144.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.01.2022 19:02:19

★

1.
Делим уравнение на 24:

(x^2/24)-(y^2/12)=1 - каноническое уравнение гиперболы

a^2=24
b^2=12

c^2=a^2+b^2=24=12=36

c=6

F_(1)(-6;0); F_(2)(6;0) - фокусы гиперболы

и по условию , фокусы эллипса

с=6

ε =c/а ⇒ (3/5)=6/а ⇒ а=10

a^2-b^2=c^2

b^2-10^2-6^2=100-36=64

О т в е т. (x^2/100)+(y^2/64)=1


2.
Делим уравнение на 576:

(x^2/64)+(y^2/36)=1 - каноническое уравнение эллипса

a^2=64 ⇒ a=8
b^2=36 ⇒ b=6

Диагонали квадрата лежат на прямых y= ± x

Находим вершины квадрата:

{9x^2+16y^2=576 ⇒ 9x^2+16( ± x)^2=576 ⇒ 25x^2=576
{y= ± x

x^2=576/25

x=24/5

[b]x=4,8[/b]

Сторона квадрата [b] 9,6[/b]


3.

Выделим полные квадраты в уравнении окружности:
(x^2+6x)+(y^2+2y)-5=0

(x^2+6x+9)+(y^2+2y+1)-9-1-5=0

(x+3)^2+(y+1)^2=15

(-3;-1) - центр окружности


Разделим уравнение гиперболы на 144

(9x^2/144)-(16y^2/144)=1

(x^2/16)-(y^2/9)=1 - каноническое уравнение гиперболы

a^2=16
a=4

b^2=9
b=3

y= ± (b/a)x - уравнения асимптот

y= ± (3/4)x

4y ± 3x=0

Находим расстояние от точки (-3;-1) до прямой 4y + 3x=0 по формуле ( см. скрин)


[m]d=\frac{|4\cdot (-1) +3\cdot (-3)| }{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{13}{5}[/m]


Находим расстояние от точки (-3;-1) до прямой 4y + 3x=0 по формуле ( см. скрин)


[m]d=\frac{|4\cdot (-1) -3\cdot (-3)| }{\sqrt{3^2+4^2}}=1[/m]