Задача 62531 Провести полное исследование функции и...
Условие
Решение
e^(-2x^2) > 0 при любом х
x+1=0 ⇒ x=-1 - точка пересечения графика функции с осью Ох
[m]lim_{x → ∞ }(x+1)e^{-2x^2}= ∞\cdot 0[/m] устраняем неопределенность: [m]=lim_{x → ∞ }\frac{x+1}{e^{2x^2}}=\frac{∞}{∞}=[/m] применяем правило Лопиталя
[m]=lim_{x → ∞ }\frac{(x+1)`}{(e^{2x^2})`}=lim_{x → ∞ }\frac{1}{e^{2x^2}\cdot (2x^2)`}=lim_{x → ∞ }\frac{1}{e^{2x^2}\cdot (4x)}=0[/m]
При чем при x→ + ∞
y→ + 0
при x→ - ∞
y→ - 0
т. е на + ∞ кривая приближается к оси Ох сверху
на - ∞ кривая приближается к оси Ох снизу
y`=(x+1)`*e^(-2x^2)+(x+1)*(e^(-2x^2))`
y`=1*e^(-2x^2)+(x+1)*(e^(-2x^2))*(-2x^2)`
y`=e^(-2x^2)+(x+1)*(e^(-2x^2))*(-4x)
[blue][b]y`=e^(-2x^2)*(1-4x^2-4x)[/b][/blue]
так как e^(-2x^2) > 0 при любом х, то
y`=0 при [m]1-4x^2-4x=0[/m]
4x^2+4x-1=0
D=16-4*4*(-1)=32
x_(1)=(-4-4sqrt(2))/8 ; x_(2)=(-4+4sqrt(2))/8
x_(1)=(-4-4sqrt(2))/8 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
x_(2)= (-4+4sqrt(2))/8 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
y``=(e^(-2x^2))`*(1-4x^2-4x)+e^(-2x^2)*(1-4x^2-4x)`
y``=e^(-2x^2)*(-2x^2)`*(1-4x^2-4x)+e^(-2x^2)*(-8x-4)
y``=e^(-2x^2)*(-4x)*(1-4x^2-4x)+e^(-2x^2)*(-8x-4)
[red]y``=e^(-2x^2)*(-4x+16x^3+16x^2-8x-4)[/red]
y``=0
-4x+16x^3+16x^2-8x-4=0
Уравнение имеет один корень ( см. график кривой на рис. 2)
x=c
x=с- точки перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
на (- ∞ ;с) кривая выпукла вниз, на (с;+ ∞ ) - кривая выпукла вниз 
