Задача 62530 ( 5 * 2^x^2 )^1/x - 2 ( 2 * 5^1/x )^(x -...
Условие
Решение
[m] (5\cdot 2^{x^2})^{\frac{1}{x}}-2\cdot (2\cdot 5^{\frac{1}{x}})^{x-1}>2^{x+2}[/m]
Применяем свойства степени ( см. скрин):
[m] 5^{\frac{1}{x}}\cdot (2^{x^2})^{\frac{1}{x}}-2\cdot (2^{x-1}\cdot (5^{\frac{1}{x}})^{x-1})-2^{x}\cdot 2^{2}>0[/m]
Упрощаем:
[m] 5^{\frac{1}{x}}\cdot 2^{x}- 2^{x}\cdot 5^{\frac{x-1}{x}}-2^{x}\cdot 2^{2}>0[/m]
[m]2^{x}\cdot (5^{\frac{1}{x}}- 5^{\frac{x-1}{x}}-2^{2})>0[/m]
[m]2^{x} >0[/m] при любых х
[m]5^{\frac{1}{x}}- 5^{\frac{x-1}{x}}-2^{2}>0[/m]
[m]5^{\frac{1}{x}}- 5\cdot 5^{-\frac{1}{x}}-4>0[/m]
Замена переменной:
[m]5^{\frac{1}{x}}=t[/m]
[m]t >0[/m]
[m]5^{-\frac{1}{x}}=\frac{1}{t}[/m]
[m]t- \frac{5}{t}-4>0[/m]
Умножаем на [m]t >0[/m]
[m]t^2-4t-5 >0[/m]
D=(-4)^2-4*5=36
[m](t-5)(t+1) >0[/m]
t < -1 или t > 5
с учетом [m]t >0[/m] первое неравенство не имеет решений.
Переход к переменной х:
[m]5^{\frac{1}{x}} > 5[/m]
Учитывая свойство монотонности показательной функции
[m]\frac{1}{x} > 1[/m] ⇒ [m]\frac{1}{x}-1 > 0[/m] ⇒ [m]\frac{1-x}{x} > 0[/m] ⇒ [m]\frac{x-1}{x} < 0[/m]
[red][m]0 < x < 1[/m][/red] - о т в е т.