Задача 62527 ...

61d9de1eacffe413ad532e0b

08.01.2022 21:56:29

log_2^2 ( 4 x ) * log_4 ( 0.125 x )^2 ≤ log_2 3 * log_3 ( x/8 ) )

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.01.2022 22:49:33

★

ОДЗ:
[m]\left\{\begin {matrix}4x>0\\(0,125x)^2>0\\\frac{x}{8} >0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [red][m]x ∈ (0;+ ∞ )[/m][/red]

[m]log_{2}4x=log_{2}4+log_{2}x=2+log_{2}x[/m]

[m]log_{4}(0,125x)^2=2log_{4}|0,125x|[/m] [red][m]x ∈ (0;+ ∞ )[/m][/red]

[m]2log_{4}0,125x=2(log_{4}0,125+log_{4}x)=2(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}log_{2}x)=-3+log_{2}x[/m]

[m]log_{2}3\cdot log_{3}\frac{x}{8}=log_{2}3\cdot\frac{ log_{2}\frac{x}{8}}{log_{2}3}=log_{2}\frac{x}{8}=log_{2}x-log_{2}8=log_{2}x-3[/m]


Далее замена переменной:

[m]log_{2}x=t[/m]

[m](2+t)^2(-3+t) ≤ t-3[/m]

[m](2+t)^2(t-3) -(t-3) ≤0 [/m]

[m](t-3)((t+2)^2-1)≤0 [/m]

[m](t-3)(t+2-1)(t+2+1)≤0 [/m]

[m](t-3)(t+1)(t+3)≤0 [/m]

Решаем методом интервалов:

__-__ [-3] ___+___ [-1] ______-______ [3] ___+__

t ≤ -3 или -1 ≤ t ≤ 3

Обратный переход в переменной х:

[m]log_{2}x ≤ -3[/m] или [m] -1 ≤ log_{2}x ≤ 3[/m]

[m]log_{2}x ≤ -3\cdot log_{2}2[/m] или [m] -1\cdot log_{2}2 ≤ log_{2}x ≤ 3\cdot log_{2}2[/m]

[m]log_{2}x ≤ log_{2}2^{-3}[/m] или [m]log_{2}2^{-1} ≤ log_{2}x ≤ log_{2}2^{3}[/m]

Применяем свойство монотонного возрастания логарифмической функции с основание 2 > 1:

[m]x ≤2^{-3}[/m] или [m]2^{-1} ≤x ≤ 2^{3}[/m]

С учетом ОДЗ получаем ответ:

[m]0 < x ≤2^{-3}[/m] или [m]2^{-1} ≤x ≤ 2^{3}[/m]


О т в е т.[m] (0;\frac{1}{8}]\cup[\frac{1}{2};8][/m]