Задача 62523 Найти область сходимости ряда...
Условие
Решение
[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{n\cdot 2^{n}}}{\frac{1}{(n+1)\cdot 2^{n+1}}}=2[/m]
-2<x< 2
[b](-2;2) - интервал сходимости[/b]
Исследуем сходимость в точке x=2
Получаем знакоположительный ряд:
∑ [m]\frac{1}{n}[/m]- [i]расходится[/i], так как это гармонический ряд
[m]lim_{n → ∞ }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{3^{n+1}}{(n+2)\sqrt{n+2}}}{\frac{3^{n}}{(n+1)\sqrt{n+1}}}=3 >1[/m]
Исследуем сходимость в точке x=-2
Получаем знакопеременный ряд:
∑ [m](-1)^{n}\frac{1}{n}[/m]- [i]сходится [/i]по признаку Лейбница
О т в е т. [-2;2) - область сходимости
2)
[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{(n+1)^2}}=1[/m]
-1<x-1< 1
0 < x < 2
[b](0;2) - интервал сходимости[/b]
Исследуем сходимость в точке x=2
Получаем знакоположительный ряд:
∑ [m]\frac{1}{n^2}[/m]- [i]сходится[/i], так как это обобщенный гармонический ряд∑ [m]\frac{1}{n^{p}}[/m] сходится при p>1
Исследуем сходимость в точке x=0
Получаем знакопеременный ряд:
∑ [m](-1)^{n}\frac{1}{n^2}[/m]- [i]сходится [/i]по признаку Лейбница
О т в е т. [0;2] - область сходимости