Задача 62521 . Решить систему дифференциальных...

61d84f2d9867305b5d2c9e68

08.01.2022 12:09:30

. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами: 1) сведением к дифференциальному уравнению; 2) с помощью характеристического уравнения.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.01.2022 12:21:56

★

1)
[m]\left\{\begin{matrix}
x`(t)=-2x-3y\\y`(t)=-x \end{matrix}\right.[/m]

Выразим из второго уравнения [m]x[/m] и подставим в первое уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
(-y`(t))`=-2\cdot (-y`(t))-3y\\x=-y`(t)\end{matrix}\right.[/m]

Решаем первое уравнение:

[m]y``(t)+2y`(y)-3y=0[/m]


получили линейное [i]однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]


Cоставляем характеристическое уравнение:

[m]k^2+2k-3=0[/m]

D=4-4*(-3)=16

[m]k_{1}=-3[/m] или [m]k_{2}=1[/m]

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_(общее однород)=[m]C_{1}e^{-3t} +C_{2}e^{t}[/m]



Находим

x_(общее)=[m]x=-y`(t)[/m]

y`_(общее однород)=[m]C_{1}(e^{-3t})` +C_{2}(e^{t})`[/m]

y`_(общее однород)=[m]C_{1}(e^{-3t})\cdot ( -3)+C_{2}(e^{t})[/m]

x_(общее)=[m]-3C_{1}e^{-3t} + C_{2}e^{t}[/m]

Итак, общее решение системы:

[m]\left\{\begin{matrix}
x(t)=-3C_{1}e^{-3t} + C_{2}e^{t}\\y(t)=C_{1}e^{-3t} +C_{2}e^{t}\end{matrix}\right.[/m]



2)
[m]\left\{\begin{matrix}
x`(t)=-2x-3y\\y`(t)=-x \end{matrix}\right.[/m]

Составим матрицу данной сиcтемы:
[m]\begin {pmatrix} -2&-3&\\-1&0&\end {pmatrix}[/m]

Находим собственные значения.

Составляем характеристическое уравнение:

[m]|A- λ E|=0[/m]

[m]\begin {vmatrix} -2- λ &-3&\\-1&0- λ &\end {vmatrix}=0[/m]


[m] λ ^2+2 λ -3=0[/m]

D=4-4*(-3)=16

[m] λ _{1}=-3[/m] или [m] λ _{2}=1[/m]

Находим собственные векторы, соответствующие найденным собственным числам: