Задача 62464 Исследовать интеграл на сходимость ...
Условие
Решение
Рассматриваем два интеграла
1)
[m] ∫_{0} ^{1}\frac{arctgx}{(x+2)\sqrt{x^3}}dx[/m]- несобственный интеграл второго рода
2)
[m] ∫_{1} ^{+ ∞ }\frac{arctgx}{(x+2)\sqrt{x^3}}dx[/m]-несобственный интеграл первого рода
2)
Так как |arctgx|< π/2
[m] ∫_{1} ^{+ ∞ }\frac{1}{(x+2)\sqrt{x^3}}dx [/m] сходится,
так как [m]∫_{1} ^{+ ∞ }\frac{1}{x \sqrt{x^3}}dx = ∫_{1} ^{+ ∞ }x^{-\frac{5}{2}}dx=\frac{x^{-\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_{1} ^{+ ∞ }=-\frac{2}{3}(\frac{1}{\sqrt{x^3}})|_{1} ^{+ ∞ }=-\frac{2}{3}(0-1)=\frac{2}{3} [/m] -сходится
и
по признаку сравнения
[m] ∫_{1} ^{+ ∞ }\frac{arctgx}{(x+2)\sqrt{x^3}}dx[/m] сходится
1)
[m] ∫_{0} ^{1}\frac{arctgx}{(x+2)\sqrt{x^3}}dx[/m]
Так как [m]arctgx ∼ x[/m] при x → 0
[m]∫_{0} ^{1}\frac{x}{(x+2)\sqrt{x^3}}dx=∫_{0} ^{1}\frac{1}{(x+2)\sqrt{x}}dx=[/m] считаем заменой переменной:
[m]\sqrt{x}=t[/m]
[m]x=t^2[/m]
[m]dx=2tdt[/m]
[m]∫_{0} ^{1}\frac{2tdt}{(t^2+2)t}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{t}{\sqrt{2}}|_{0}^{1}[/m] получим число, значит [b]сходится.[/b]
О т в е т. Данный интеграл сходится как сумма сходящихся интегралов