Задача 62452 ((x^2) + 2xy)dx + ((x^2 )+ 2(y^2) )dy =...
Условие
)dy = 0.
математика ВУЗ
157
Решение
★
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
P(x;y)=x^2 + 2xy
Q(x;y)=x^2+2y^2
P(x;y) и Q(x;y) - однородные функции второго порядка.
Значит это однородное уравнение, которое решают методом замены.
Делим обе части уравнения на x^2
(1+2(y/x))dx+(1+2(y/x)^2)dy=0
y/x=u
y=x*u
dy=udx+xdu
(1+2u)dx+(1+2u^2)*(udx+xdu)=0
(1+2u+u+2u^3)dx+(1+2u^2)*xdu=0
Получили уравнение с разделяющимися переменными
dx/x=-(1+2u^2)du/(1+3u+2u^3)
Интегрируем
∫ dx/x=- ∫ (1+2u^2)du/(1+3u+2u^3)
Справа дробь. См. интегрирование рациональных дробей.
Раскладываем знаменатель на множители, а дробь на простейшие дроби