Задача 62406 Даны вершины А(х1;у1); В(х2;у2);...
Условие
Даны вершины А(х1;у1); В(х2;у2); С(х3;у3) треугольника АВС. Найти
1) уравнение стороны АВ
2) длину стороны АВ
3) уравнение высоты; проведённой через вершину С;
4) уравнение медианы; проведенной из вершины В;
5) площадь треугольника АВС;
6) точку пересечения медианы ВМ и высоты СН, если А (-5;-3), В(-3;2), С(0;-3);
Решение
Составляем уравнение прямой АВ:
[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]
[m]\frac{x-(-5)}{-3-(-5)}=\frac{y-(-3)}{2-(-3)}[/m]
[m]\frac{x+5}{2}=\frac{y+3)}{5}[/m]
5(x+5)=2(y+3)
5x-2y+19=0 - общее уравнение прямой АВ
2)
[m]|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}=\sqrt{(-3-(-5))^2+(2-(-3)^2}=\sqrt{29}[/m]
3)
Высота CН перпендикулярна прямой АВ.
5x-2y+19=0 - общее уравнение прямой АВ
[m]y=2,5x+9,5[/m]
k_(AB)=2,5
Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1)
k_(AB)*k_(CH)=-1
k_(CH)=2/5
Общий вид прямых перпендикулярных АВ:
y=(2/5)x+b
Подставляем координаты точки С (0;-3)
-3=(3/4)*0+b
b=-3
[red][b]y=(2/5)x-2 [/b]-[/red] уравнение высоты СН
4)
Находим координаты точки М - середины AC
[m]x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-5+0}{2}=-2,5[/m]
[m]y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{-3+(-3))}{2}=-3[/m]
Составляем уравнение медианы BМ как прямой, проходящей через две точки:
Уравнение прямой, проходящей через две точки
B (x_(B);y_(B)) и M (x_(M);y_(M)) и имеет вид:
[m]\frac{x-x_{B}}{x_{M}-x_{B}}=\frac{y-y_{B}}{y_{M}-y_{B}}[/m]
B(-3;2)
M(-2,5;-3)
[m]\frac{x-(-3)}{-2,5 -(-2)}=\frac{y-2}{-3 -2}[/m]
[m]\frac{x+3}{(-0,5)}=\frac{y-2}{(-5)}[/m]
[m]-5(x+3)=(-0,5)(y-2)[/m]
[b][m]10x+y+28=0[/m][/b] - уравнение медианы АМ
5)
[m]\vec{AB}=(2;5)[/m]
[m]\vec{AC}=(5;0)[/m]
[m]cos ∠ (\vec{AB},{AC})=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC} }{|\vec{AB}|\cdot|\vec{AC}| }=\frac{2\cdot 5+5\cdot 0}{\sqrt{29}\cdot 5}=\frac{2}{\sqrt{29}}[/m]
⇒
[m]sin^2∠ (\vec{AB},{AC})=1-cos^2∠ (\vec{AB},{AC})=1-(\frac{2}{\sqrt{29}})^2=\frac{25}{29}[/m]
[m]sin∠ (\vec{AB},{AC})=\frac{5}{\sqrt{29}}[/m]
[m]S_{ Δ ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sin∠ (\vec{AB},{AC})==\frac{1}{2}\cdot \sqrt{29}\cdot 5\cdot \frac{5}{\sqrt{29}}=12,5[/m]
см решение в скрине.
