Задача 62404 Решить: y"-3y'+2y=e^2x-18x...
Условие
y"-3y'+2y=e^2x-18x
Решение
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''-3y'+2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k+2=0
D=9-8=1
k_(1)=1 и k_(2)=2 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(2x) - общее решение однородного уравнения
Правая часть неоднородного уравнения
f(x)=e^(2x)–18x
f_(1)(x)=e^(2x)
f_(2)(x)=–18x
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)
f_(1)(x) и f_(2)(x) имеют ''специальный'' вид, поэтому частные решения имеет вид:
y_(частное_(1) неодн)=А*x*e^(2x) , так как k_(2)=2 - корень характеристического уравнения, умножаем на х
y_(частное_(2) неодн)=Mx+N
Находим
y`_(частное_(1) неодн) =(А*x*e^(2x))`=(Ax)`*e^(2x)+(Ax)*(e^(2x))`=A*e^(2x)+2(Ax)*e^(2x)
y``_(частное_(1) неодн)=(A*e^(2x)+2(Ax)*e^(2x))=2*A*e^(2x)+2*A*e^(2x)+4(Ax)*e^(2x)
Подставляем в неоднородное уравнение:
y''-3y'+2y=f_(1)(x)
2*A*e^(2x)+2*A*e^(2x)+4(Ax)*e^(2x)-3*(A*e^(2x)+2(Ax)*e^(2x))+2*А*x*e^(2x)=e^(2x)
⇒ A=1
Находим
y`_(частное_(2) неодн) =M
y``_(частное_(2) неодн)=0
Подставляем в неоднородное уравнение:
y''-3y'+2y=f_(2)(x)
0-3M+2*(Mx+N)=-18x
2M=-18 ⇒ [b]M=-9[/b]
2N-3M=0
[b]N=-27/2[/b]
y_(частное неодн)=y_(частное_(1) неодн)+y_(частное_(2) неодн)=x*e^(2x)+(-9x-(27/2))
y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное неодн)
y_(общее неодн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(2x) +(x*e^(2x))+(-9x-(27/2))
О т в е т.