Задача 62375 Найти решение уравнения, удовлетворяющее...
Условие
Решение
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+10=0
D=4-4*1*10=-36
k_(1)=(2-6i)/2 ; k_(2)=(2+6i)/2
k_(1)=1-3i; k_(2)=1+3i– корни комплексно-сопряженные
α =1 ; β=3
Общее решение однородного уравнения в таком случае имеет вид:
y_(общее одн.)=e^(αx)*(С_(1)*cos βx+C_(2)*sin βx)
Подставляем
α =1 ; β=3
y_(общее одн.)=e^(x)*(С_(1)*cos 3x+C_(2)*sin 3x) - общее решение данного уравнения
Находим производную по правилу производной произведения:
y`_(общее одн.)=e^(x)*(С_(1)*cos 3x+C_(2)*sin 3x) +e^(x)*(С_(1)*(-sin 3x)*(3x)`+C_(2)*(cos 3x)*(3x)`
y`_(общее одн.)=e^(x)*(С_(1)*cos 3x+C_(2)*sin 3x) +e^(x)*(С_(1)*(-sin 3x)*(3)+C_(2)*(cos 3x)*(3)
y`_(общее одн.)=e^(x)*(С_(1)*(cos 3x-3sin3x)+C_(2)*(sin 3x+3cos3x))
Находим решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y(π/6)=0 ⇒ y(π/6)=e^(π/6)*(С_(1)*cos3*(π/6) +C_(2)*sin 3*(π/6)) ⇒ ⇒ 0=e^(π/6)*(С_(1)*cos(π/2) +C_(2)*sin (π/2)) ⇒ [b]0=e^(π/6)*(С_(1)*0 +C_(2)*1)[/b]
y`(π/6)=e^(π/6) ⇒ e^(π/6)*(С_(1)*(cos 3(π/6)-3sin3(π/6))+C_(2)*(sin 3(π/6)+3cos3(π/6))) ⇒
[b]1= С_(1)*(cos 3(π/6)-3sin3(π/6))+C_(2)*(sin 3(π/6)+3cos3(π/6))[/b]
[b]1= С_(1)*(cos (π/2)-3sin(π/2))+C_(2)*(sin (π/2)+3cos(π/2))[/b]
[b]1= С_(1)*(0-3*1)+C_(2)*(1+3*0)[/b]
Находим С_(1) и С_(2) из системы уравнений:
[b]0=e^(π/6)*(С_(1)*0 +C_(2)*1)[/b] ⇒ [b]0=C_(2)[/b]
[b]1= С_(1)*(0-3*1)+C_(2)*(1+3*0)[/b] подставляем [b]C_(2)=0[/b]
[b]С_(1)=-1/3[/b]
Подставляем [b]C_(2)=0[/b] и [b]С_(1)=-1/3[/b] в общее решение данного уравнения
y_(общее одн.)=e^(x)*(С_(1)*cos 3x+C_(2)*sin 3x)
получаем решение. удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y_(частное одн.)=e^(x)*(-1/3)*cos 3x