Задача 62334 Найти предел функции:...
Условие
математика 10-11 класс
188
Решение
★
Основное логарифмическое тождество: [m]\frac{2+x}{2-x}=e^{ln\frac{2+x}{2-x} }[/m]
[m]=lim_{x → 0}(e^{ln\frac{2+x}{2-x} })^{\frac{1}{x}}=[/m]
[m]=e^{lim_{x →0 }\frac{1}{x}\cdot ln\frac{2+x}{2-x}}=e^{1}[/m]
Так как
[m]lim_{x →0 }\frac{ln\frac{2+x}{2-x}}{x}=\frac{0}{0}[/m]
применяем правило Лопиталя:
[m]lim_{x →0 }\frac{(ln\frac{2+x}{2-x})`}{(x)`}=lim_{x →0 }\frac{2-x}{2+x}\cdot (\frac{2+x}{2-x})`=[/m]
[m]=lim_{x →0 }\frac{2-x}{2+x}\cdot (\frac{1\cdot (2-x)-(2+x)*(-1)}{(2-x)^2})`=lim_{x →0 }\frac{2-x}{2+x}\cdot \frac{4}{(2-x)^2}=1[/m]