Задача 62324 Найти площадь параллелограмма...
Условие
Решение
[m]\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{BD}[/m]
[m]\vec{BC}=\vec{AD}[/m] ⇒
[m]\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}[/m]
[m]\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{BD}[/m]
[m]\vec{AB}+\vec{AD}=2\vec{p}-\vec{q}[/m]
[m]\vec{AD}-\vec{AB}=5\vec{p}-4\vec{q}[/m]
Складываем:
[m]2\vec{AD}=7\vec{p}-5\vec{q}[/m] ⇒[red][m] \vec{AD}=3,5\vec{p}-2,5\vec{q}[/m] [/red]
Вычитаем:
[m]2\vec{AB}=-\vec{p}+3\vec{q}[/m] ⇒[red][m] \vec{AB}=1,5\vec{q}-0,5\vec{p}[/m] [/red]
[m]S_{(параллелограмма)}=[/m][red][m]|[\vec{AB} × \vec{AD}]|[/m][/red]
[m][\vec{AB} × \vec{AD}][/m]=[red][m](1,5\vec{q}-0,5\vec{p}) × (3,5\vec{p}-2,5\vec{q})=[/m] [/red]
[m]1,5\cdot 3,5\vec{q} × \vec{p}-0,5\cdot 3,5\vec{p} × \vec{p}-1,5\cdot 2,5\vec{q} × \vec{q}-0,5\cdot 2,5\vec{p} × \vec{q}=[/m]
Так как
[m]\vec{q} × \vec{p}=-\vec{p} × \vec{q}[/m]
и
[m]\vec{p} × \vec{q}=|\vec{p}| \cdot | \vec{q}|\cdot sin( ∠ \vec{p}, \vec{q})=1\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
[m]\vec{p} × \vec{p}=|\vec{p}| \cdot | \vec{p}|\cdot sin0=0[/m]
[m]\vec{q} × \vec{q}=|\vec{q}| \cdot | \vec{q}|\cdot sin0=0[/m]
[m][\vec{AB} × \vec{AD}]=-5,25\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})-1,75\cdot 0-1,5\cdot 2,5\cdot 0 -1,25\frac{\sqrt{2}}{2}=-6,5\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
[m]S_{(параллелограмма)}=|-6,5\frac{\sqrt{2}}{2}|=\frac{13\sqrt{2}}{4}[/m]