Задача 62310 Вычислить интегралы!!...
Условие
Решение
[m] ∫ x\cdot e^{x^2}dx=[/m][[i]замена переменной[/i]:х[m]u=x^2[/m]; [m]du=2xdx[/m]; [m]xdx=\frac{du}{2}[/m]]
[m]= ∫ e^{u}\frac{du}{2}=\frac{1}{2}e^{u}+C=\frac{1}{2}e^{x^2}+C[/m]
4.
[m] ∫ \frac{4arctgx-x}{1+x^2}dx= ∫ \frac{4arctgx}{1+x^2}dx- ∫ \frac{x}{1+x^2}dx=[/m]
первый интеграл: [i] замена переменной[/i]:[[m]u=arctgx[/m]; [m]du=\frac{1}{1+x^2}dx[/m]]
[m] ∫ \frac{4arctgx}{1+x^2}dx=4 ∫ udu=4\frac{u^2}{2}=2u^2=2arctg^2x[/m]
второй интеграл: [i]замена переменной[/i]:[[m]u=1+x^2[/m]; [m]du=2xdx[/m] ⇒[m]xdx=\frac{1}{2}du [/m]]
[m] ∫ \frac{x}{1+x^2}dx= ∫\frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\frac{u^{-2}}{(-2)}=-\frac{1}{4u^2}[/m]
[m] ∫ \frac{4arctgx-x}{1+x^2}dx= ∫ \frac{4arctgx}{1+x^2}dx- ∫ \frac{x}{1+x^2}dx=2arctg^2x+\frac{1}{4u^2}+C[/m]