Задача 62293 Вычислить объем тела, ограниченного...

60b8cbbea1c50e1d3043a673

20.12.2021 14:15:05

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.12.2021 22:36:00

★

Тело- часть кругового цилиндра, ограниченная снизу плоскостью z=0
сверху - плоскостью z=4-x-y

V= ∫ ∫_(x^2+y^2 ≤ 4)(4-x-y)dxdy

Полярные координаты:

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

dxdy= ρ d ρ d φ

0 ≤ p ≤ 2

0 ≤ φ ≤ 2π


V= ∫^(2π)_(0) ∫^(2)_(0) (4-ρ cos φ -ρ sin φ ) ρ d ρ d φ =

=∫^(2π)_(0) ([blue]∫^(2)_(0) (4 ρ -ρ^2 cos φ -ρ^2 sin φ )d ρ [/blue]d φ =


=∫^(2π)_(0) ([blue] (2 ρ^2 -(ρ^3/3)* cos φ -(ρ^3/3)* sin φ )|^(2)_(0) [/blue]d φ =


=∫^(2π)_(0) ([blue] (2 *2^2 -(2^3/3)* cos φ -(2^3/3)* sin φ ) [/blue]d φ =

=∫^(2π)_(0)(8-(8/3)cos φ -(8/3)sin φ )d φ =

=(8 φ -(8/3)sin φ +(8/3)cos φ )|^(2π)_(0)=

=8*2π-(8/3)*0+(8/3)*(1-1)=16π