Задача 62288 log 2|x| ^ 2 (4x^ 2 )+log 2 (8x^ 2 )<=9...
Условие
Решение
{2|x|>0⇒x≠0
{2|x| ≠ 1⇒[red] [m]|x| ≠ 0,5[/m][/red]
{4x^2 >0⇒x≠0
{8x^2>0⇒x≠0
Применяем формулу перехода к другому основанию:
[m]log_{2|x|}4x^2=\frac{log_{2}4x^2}{log_{2}2|x|}[/m]
По свойствам логарифмов:
[m] log_{2}4x^2=log_{2}4+log_{2}x^2=2+2log_{2}|x|[/m]
[m]log_{2}2|x|=log_{2}2+log_{2}|x|=1+log_{2}|x|[/m]
[m] log_{2}8x^2=log_{2}8+log_{2}x^2=3+2log_{2}|x|[/m]
Неравенство принимает вид:
[m](\frac{2+2log_{2}|x|}{1+log_{2}|x|})^2+3+2log_{2}|x| ≤9 [/m]
[m](\frac{2(1+log_{2}|x|)}{1+log_{2}|x|})^2+3+2log_{2}|x| ≤9 [/m]
[m]log_{2}|x| ≠ -1[/m] ⇒ [m]|x| ≠ 2^{-1}[/m] ⇒[red] [m]|x| ≠ 0,5[/m][/red]
[m]2^2+3+2log_{2}|x| ≤9 [/m]
[m] log_{2}|x| ≤ 1[/m] ⇒ [m] |x| ≤ 2[/m] ⇒ [m]-2 ≤ x ≤ 2[/m]
С учетом ОДЗ получаем ответ:
[m][-2;-0,5)\cup(-0,5;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;2][/m]