Задача 62267 ...

61a476f6cefa55592354d924

19.12.2021 09:17:11

Определите полином наименьшей степени так, чтобы при делении в (x-1)² остался остаток 2x , а при делении в (x-2)³ остался остаток 3x.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.12.2021 09:47:21

★

искомый многочлен P(x) не может быть многочленом первой степени (иначе в остатках мы бы получили этот же многочлен первой степени, а мы получаем разные многочлены первой степени: 2 x и 3x

искомый многочлен P(x) не может быть многочленом второй степени (иначе при делении на (x-1)^2 мы бы получили в остатке константу)

искомый многочлен P(x) не может быть многочленом третьей степени (иначе при делении на (x-2)^3 мы бы получили в остатке константу)

Значит искомый многочлен P(x) четвертой степени:


P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e


P(x)=Q_(1)(x)*(x-1)^2+2x ⇒ P(1)=Q_(1)(1)*(1-1)^2+2*1 ⇒ P(1)=2*1=2

P(x)=Q_(2)(x)*(x-2)^3+3x ⇒ P(2)=Q_(2)(2)*(2-2)^3+3*2 ⇒ P(2)=3*2=6


P(1)=a+b+c+d+e

P(2)=a*2^4+b*2^3+c*2^2+d*2+e


{a+b+c+d+e=2
{16a+8b+4c+2d+e=6


P`(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d

P`(x)=(Q_(1)(x)*(x-1)^2)`+(2x)` =Q`_(1)(x)*(x-1)^2+Q_(1)(x)*2(x-1) + 2⇒

P`(1)=Q`_(1)(1)*(1-1)^2+Q_(1)(1)*2(1-1) + 2=0+0+2


4a+3b+2c+d=2


P`(x)=(Q_(2)(x)*(x-2)^3)`+(3x)` ⇒ P`(2)=3

4a*2^3+3b*2^2+2c*2+d=3


P``(x)=(Q_(2)(x)*(x-2)^3)``+(3)` ⇒ P``(2)=0

P``(x)=12ax^2+6bx+2c


12a*2^2+6b*2+2c=0


Решаем систему:

[m]\left\{\begin {matrix}a+b+c+d+e=2 \\16a+8b+4c+2d+e=6\\ 4a+3b+2c+d=2\\32a+12b+4c+d=3\\48a+12b+2c=0\end {matrix}\right.[/m]


a=4
b=-27
c=66
d=-65
e=24

ПРоверка: