Задача 62265 Найти угол между градиентами функций u...
Условие
Решение
Находим
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }=(\frac{x^2}{yz^2})`_{x}=\frac{1}{yz^2}\cdot( (x^{2})`=\frac{1}{yz^2}(2x)=\frac{2x}{yz^2}[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }=(\frac{x^2}{yz^2})`_{y}=\frac{x^2}{z^2}\cdot(y^{-1})`=\frac{x^2}{z^2}\cdot (-y^{-2})=-\frac{x^2}{y^2z^2}[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }=(\frac{x^2}{yz^2})`_{z}=\frac{x^2}{y}\cdot (z^{-2})`=\frac{x^2}{y}\cdot(-2z^{-3})=-\frac{x^2}{2yz^3}[/m]
[m]\vec{grad u}|_{M}=\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{M}\vec{i}+\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{M}\vec{j}+\frac{ ∂u }{ ∂z }|_{M}\vec{k}[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{M}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^2}[=12/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{M}=-\frac{(\sqrt{2})^2}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2\cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=-12[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }|_{M}=-\frac{(\sqrt{2})^2}{2\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^3}=-6\sqrt{6}[/m]
[red][m]\vec{grad u}|_{M}=12\vec{i}-12\vec{j}-6\sqrt{6}\vec{k}[/m][/red]
Аналогично
[m]\vec{grad v}=\frac{ ∂v }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂v }{ ∂y }\vec{j}+\frac{ ∂v }{ ∂z }\vec{k}[/m]
Находим
[m]\frac{ ∂v }{ ∂x }=(\frac{x^3}{2}+6y^3+3\sqrt{6}z^3)`_{x}=\frac{3}{2}x^2[/m]
[m]\frac{ ∂v }{ ∂y }=(\frac{x^3}{2}+6y^3+3\sqrt{6}z^3)`_{y}=18y^2[/m]
[m]\frac{ ∂v }{ ∂z }=(\frac{x^3}{2}+6y^3+3\sqrt{6}z^3)`_{z}=9\sqrt{6}z^2[/m]
[m]\vec{grad v}|_{M}=\frac{ ∂v }{ ∂x }|_{M}\vec{i}+\frac{ ∂v }{ ∂y }|_{M}\vec{j}+\frac{ ∂v }{ ∂z }|_{M}\vec{k}[/m]
[m]\frac{ ∂v }{ ∂x }|_{M}=\frac{3}{2}(\sqrt{2})^2=3[/m]
[m]\frac{ ∂v }{ ∂y }|_{M}=18(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=9[/m]
[m]\frac{ ∂v }{ ∂z }|_{M}=9\sqrt{6}\cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^2=3\sqrt{6}[/m]
[red][m]\vec{grad v}|_{M}=3\vec{i}+9\vec{j}+3\sqrt{6}\vec{k}[/m][/red]
Находим угол между векторами
[red][m]\vec{grad u}|_{M}=12\vec{i}-12\vec{j}-6\sqrt{6}\vec{k}[/m][/red]
[red][m]\vec{grad v}|_{M}=3\vec{i}+9\vec{j}+3\sqrt{6}\vec{k}[/m][/red]
по формуле:
