Задача 62261 Исследовать числовой ряд на сходимость. ...
Условие
математика ВУЗ
198
Решение
★
[m]lim_{n → ∞ }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{(2(n+1))!}{2^{2(n+1)}\cdot ((n+1)!)^2\cdot (n+1)}}{\frac{(2n)!}{2^{2n}\cdot ((n)!)^2\cdot n}}=lim_{n → ∞}\frac{(2n+2)!\cdot 2^{2n}\cdot (n!)^2\cdot n}{2^{2n+2}\cdot ((n+1)!)^2\cdot (n+1)\cdot(2n)!}=lim_{n → ∞}\frac{(2n+1)(2n+2)}{2^2(n+1)^2}\cdot lim_{n → ∞}\frac{n}{n+1}=1\cdot 1 [/m]
Признак Даламбера ответа не дает...
Признак Коши применять бесполезно, тоже ответа не получим.
Значит, надо применить [b]признак Гаусса[/b].
[m]\frac{(2n+1)(2n+2)}{2^2(n+1)^2}=\frac{4n^2+6n+2}{4n^2+8n+4}=1+\frac{-2n-2}{4n^2+8n+4}=1+\frac{(-1)}{2(n+1)} [/m]