Задача 62256 Найти общее решение дифференциального...
Условие
Решение
Замена
y`=z
y``=z`
x*z`-z=-2lnx - линейное первого порядка
z`-(1/x)*z=(-2lnx)/x
z=u*v
z`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v` - (1/x)*u*v=(-2lnx)/x
Группируем:
u`*v+(u*v` - (1/x)*u*v)=(-2lnx)/x
u`*v+u*(v`-(1/x)*v)=(-2lnx)/x
Полагаем:
(v`-(1/x)*v)=0 [red] [b](1)[/b][/red]
Тогда уравнение примет вид:
u`*v+u*0=(-2lnx)/x (2)
Решаем[red] [b](1)[/b]:[/red]
v`-(1/x)*v=0 ⇒ dv/v=dx/x ⇒ ∫ dv/v= ∫ dx/x ⇒ ln|v|=ln|x| ⇒ v=x
Подставляем во второе
u`*x+u*0=(-2lnx)/x
du=(-2lnx/x^2)dx
∫ du= ∫ (-2lnx/x^2)dx
интегрирование по частям:
получаем:
u=(2lnx+2)/x + C_(1) ( см. подробное решение в скриншоте)
z=u*v=((2lnx+2)/x + C_(1))*x
z=2lnx+2+C_(1)*x
y`=2lnx+2+C_(1)*x ⇒ y= ∫( 2lnx+2+C_(1)*x)dx=2∫lnxdx+2 ∫ dx+C_(1) ∫ xdx= первый интеграл по частям (u=lnx; dv=dx)
=x*lnx- x+ 2x+C_(1)*(x^2/2)+C_(2)= [b]x*lnx+x+C_(1)*(x^2/2)+C_(2)[/b]
