Задача 62235 Решить двойной интеграл...
Условие
Решение
считаем внутренний интеграл по частям:
[m] ∫_{ln2} ^{ln3} ye^{\frac{xy}{2}}dy[/m]
[m]u=y[/m] ⇒ [m]du=dy[/m]
[m]dv=e^{\frac{xy}{2}}dy[/m] ⇒ [m]v= ∫ dv[/m] ⇒
[m]v = ∫ e^{\frac{xy}{2}}dy=\frac{2}{x}∫ e^{\frac{xy}{2}}\cdot \frac{x}{2}dy=\frac{2}{x}∫ e^{\frac{xy}{2}}d(\frac{xy}{2})=\frac{2}{x} e^{\frac{xy}{2}}[/m]
[m] ∫_{ln2} ^{ln3} ye^{\frac{xy}{2}}dy=\frac{2}{x}((y\cdot e^{\frac{xy}{2}}|_{ln2} ^{ln3}- ∫_{ln2} ^{ln3} e^{\frac{xy}{2}}dy) =[/m]
[m]=\frac{2}{x}(ln3 e^{\frac{x ln3}{2}}-ln2 e^{\frac{x ln2}{2}}-\frac{2}{x} (e^{\frac{xy}{2}})|_{ln2} ^{ln3})=[/m]
[m]=\frac{2}{x}(ln3 e^{\frac{x ln3}{2}}-ln2 e^{\frac{x ln2}{2}}-\frac{2}{x} e^{\frac{x ln3}{2}}+\frac{2}{x} e^{\frac{x ln2}{2}})=[/m]
Применяем основное логарифмическое тождество:
[m]e^{ln3}=3[/m]
[m]e^{ln2}=2[/m]
[m]=\frac{2}{x}(ln3(e^{ln3})^{\frac{x}{2}}-ln2(e^{ln2})^{\frac{xln2}{2}}-\frac{2}{x}( e^{ln3})^{\frac{x}{2}}+\frac{2}{x} (e^{ln2})^{\frac{x}{2}})=[/m]
[m]=\frac{2}{x}ln3(3)^{\frac{x}{2}}-\frac{2}{x}ln2(2)^{\frac{xln2}{2}}-\frac{4}{x^2}(3)^{\frac{x}{2}}+\frac{4}{x^2} (2)^{\frac{x}{2}}=[/m]
Тогда
[m] ∫_{2} ^{4}( ∫_{ln2} ^{ln3} ye^{\frac{xy}{2}}dy)dx= ∫_{2} ^{4}(\frac{2}{x}ln3(3)^{\frac{x}{2}}-\frac{2}{x}ln2(2)^{\frac{xln2}{2}}-\frac{4}{x^2}(3)^{\frac{x}{2}}+\frac{4}{x^2} (2)^{\frac{x}{2}})dx=[/m]
остается вычислить 4 интеграла, каждый по частям?