Задача 62220 Составить уравнение кривой второго...

61a476f6cefa55592354d924

16.12.2021 19:40:10

Составить уравнение кривой второго порядка, проходящей через 5 точек: А(5;2) В(0;5) С(–2;3) D(3;–2) E(2;2)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

16.12.2021 22:08:29

★

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

[m]ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=[/m]


Подставляем координаты данных точек.

Точка А (5;2)

[m]a\cdot 5^2+b\cdot 5\cdot 2+c\cdot 2^2+d\cdot 5+e\cdot 2+f=[/m] ⇒ [m]25a+10b+4c+5d+2e+f=0[/m]


Точка B (0;5)

[m]a\cdot 0^2+b\cdot 0\cdot 5+c\cdot 5^2+d\cdot 0+e\cdot 5+f=[/m] ⇒ [m]25c+5e+f=0[/m]


Точка C (-2;3)

[m]a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)\cdot 3+c\cdot 3^2+d\cdot (-2)+e\cdot 3+f=[/m] ⇒ [m]4a-6b+9c-2d+3e+f=0[/m]


Точка D (3;-2)

[m]a\cdot 3^2+b\cdot 3\cdot (-2)+c\cdot (-2)^2+d\cdot 3+e\cdot (-2)+f=[/m] ⇒ [m]9a-6b+4c+3d-2e+f=0[/m]


Точка E(2;2)

[m]a\cdot 2^2+b\cdot 2\cdot 2+c\cdot 2^2+d\cdot 2+e\cdot 2+f=[/m] ⇒ [m]4a+4b+4c+2d+2e+f=0[/m]


Решаем систему пяти уравнений c шестью неизвестными :

[m]\left\{\begin {matrix}25a+10b+4c+5d+2e+f=0\\25c+5e+f=0\\4a-6b+9c-2d+3e+f=0\\9a-6b+4c+3d-2e+f=0\\4a+4b+4c+2d+2e+f=0\end {matrix}\right.[/m] ( cм. скрины)



получаем:

[m]\frac{6}{305}fx^2+\frac{107}{610}fxy+\frac{41}{610}fy^2-\frac{149}{305}fx-\frac{327}{610}fy+f=0[/m]

Делим на f

[m]\frac{6}{305}x^2+\frac{107}{610}xy+\frac{41}{610}y^2-\frac{149}{305}x-\frac{327}{610}y+1=0[/m]

Умножаем на 610:

[m]12x^2+107xy+41y^2-298x-327y+610=0[/m]

О т в е т. [m]12x^2+107xy+41y^2-298x-327y+610=0[/m]