Задача 62215 7. Составить уравнение плоскости,...

61618f078c4c5a5ade8bb939

16.12.2021 17:41:19

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А (0; 2; 0), В ( 1/2; 0; 1) и С (-1/4;-1;1 ).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

16.12.2021 19:23:08

★

Пусть уравнение плоскости АВС имеет вид:

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точки А:

2b+d=0

Подставляем координаты точки B:

(1/2)a+c+d=0

Подставляем координаты точки B:

(-1/4)a-b+c+d=0


Решаем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:

{2b+d=0 ⇒ d=-2b
{(1/2)a+c+d=0
{(-1/4)a-b+c+d=0


Подставляем d=-2b во второе и третье уравнение:

{2b+d=0 ⇒ d=-2b
{(1/2)a+c-2b=0 ⇒ (1/2)a-2b+c=0
{(-1/4)a-b+c-2b=0 ⇒ (-1/4)a-3b+c=0

Вычитаем из второго третье:

{2b+d=0 ⇒ d=-2b
{(1/2)a-2b+c=0
{ (3/4)a+b=0 ⇒ a=(-4/3)b подставляем во второе

(1/2)*(-4/3)b-2b+c=0 ⇒ с=(8/3)b

Тогда уравнение плоскости АВС принимает вид:

(-4/3)bx+by+(8/3)bz-2b=0


Делим на b

(-4/3)x+y+(8/3)z-2=0


Умножаем на 4

-4x+3y+8z-6=0

[b]4x-3y-8z+6=0[/b]

vector{n}=(4;-3;-8) - нормальный вектор плоскости АВС


Искомая плоскость, проходит через ось Оy и перпендикулярна плоскости АВС

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка этой плоскости.

Тогда vector{OM}=(x;y;z)
O(0;0;0) - начало координат
vector{j}=(0;1;0}
и
vector{n_(1)}=(4;-3;-8)
КОМПЛАНАРНЫ.

Условие компланарности векторов - равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов


[m]\begin {vmatrix} x&y&z\\0&1&0\\4&-3&-8\end {vmatrix}=0[/m] ⇒ -8x-4z=0 ⇒ [b]2x+z=0[/b]

vector{n_(2)}=(2;1)-нормальный вектор искомой плоскости

vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=4*2+(-3)*0+(-8)*1=0 - скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, значит векторы ортогональны

Значит и плоскости перпендикулярны


О т в е т. [b]2x+z=0[/b]