Задача 62208 Найти сумму ряда ...
Условие
Решение
[m]\frac{1}{n(n^2-4)}[/m] на простейшие.
[m]\frac{1}{n(n^2-4)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n-2}+\frac{D}{n+2}[/m]
[m]1=A(n^2-4)+B(n^2+2n)+D(n^2-2n)[/m]
[m]0\cdot n^2+0\cdot n+1=(A+B+D)n^2+(2B-2D)n-4A[/m]
Получили равенство двух многочленов.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
[m]0=A+B+D[/m]
[m]0=2B-2D[/m] ⇒ [m]B=D[/m]
[m]1=-4A[/m] ⇒ [m]A=-\frac{1}{4}[/m]
[m]0=A+B+D[/m] ⇒ [m]0=-\frac{1}{4}+B+B[/m] ⇒ [m]2B=\frac{1}{4}[/m]
[m]D=B=\frac{1}{8}[/m]
[m]\frac{1}{n(n^2-4)}=-\frac{}{4n}+\frac{1}{8(n-2)}+\frac{1}{8(n+2)}[/m]
[m]a_{3}=\frac{1}{3(3^2-4)}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{8}+\frac{1}{40}[/m]
[m]a_{4}=\frac{1}{4(4^2-4)}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{48}[/m]
[m]a_{5}=\frac{1}{5(5^2-4)}=-\frac{1}{20}+\frac{1}{24}+\frac{1}{56}[/m]
[m]a_{6}=\frac{1}{6(6^2-4)}=-\frac{1}{24}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}[/m]
[m]a_{7}=\frac{1}{7(7^2-4)}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{40}+\frac{1}{72}[/m]
[m]a_{8}=\frac{1}{8(8^2-4)}=-\frac{1}{32}+\frac{1}{48}+\frac{1}{80}[/m]
[m]a_{9}=\frac{1}{9(9^2-4)}=-\frac{1}{36}+\frac{1}{56}+\frac{1}{88}[/m]
[m]a_{10}=\frac{1}{10(10^2-4)}=-\frac{1}{40}+\frac{1}{64}+\frac{1}{96}[/m]
[m]S_{n}=a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{8}+\frac{1}{40}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{48}-\frac{1}{20}+\frac{1}{24}+\frac{1}{56}-...-\frac{}{4n}+\frac{1}{8(n-2)}+\frac{1}{8(n+2)}[/m]
Надо найти закономерность, начиная с которой приведенение подобных слагаемых будет давать в сумме 0, а в итоге останется несколько дробей.
( см. например, здесь https://reshimvse.com/zadacha.php?id=52455) Слагаемых поменьше, поэтому легко заметить, какие исчезают и какие останутся...
Тогда
[m]S=lim_{n → ∞ }S_{n}[/m]
