Задача 62201 Найти объем тела V: 1) V: x^(2)+y^(2)=y,...
Условие
1) V: x^(2)+y^(2)=y, x^(2)+y^(2)=4y, z=sqrt(x^(2)+y^(2)), z=0
2) V: z=7.5sqrt(x^(2)+y^(2)), z=8.5-x^(2)-y^(2)
Как я поняла, решить нужно через тройной интеграл, но совсем не понимаю, каким именно образом и что надо делать.
Решение
z=0- плоскость xOy
x^2+y^2=y - цилиндр
x^2+y^2=4y - цилиндр
Теперь надо представить тело образованное этими поверхностями.
Это будет тело [m] Ω [/m] между цилиндрами, ограниченное снизу плоскостью xOy
а сверху ограниченное конусом
[m]V= ∫∫∫_{ Ω }dxdydz[/m]
[m] Ω :[/m]
[m]0 ≤ z ≤ \sqrt{x^2+y^2}[/m]
Область D плоскости xOy на рис.
[m]V= ∫∫_{D}\sqrt{x^2+y^2}dxdy[/m]
Переход к полярным координатам:
Переход к полярным координатам:
[m]x= ρ cos φ[/m]
[m]y= ρ sin φ [/m] ⇒ [m]x^2+y^2= ρ ^2[/m]
[m] \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{ ρ ^2}= ρ [/m]
[m]dxdy= ρ d ρ d φ[/m]
Область D ограничена окружностями:
[blue][m]x^2+y^2=y[/m] [/blue]⇒[blue][m]ρ ^2=ρ sin φ[/m] [/blue]⇒[blue][m]ρ = sin φ[/m] [/blue]
[blue][m]x^2+y^2=4y[/m] [/blue]⇒[blue][m]ρ ^2=4ρ sin φ[/m] [/blue]⇒[blue][m]ρ = 4sin φ[/m] [/blue]
[m] sin φ≤ ρ ≤ 4sin φ[/m]
[m]0 ≤ φ ≤ π[/m]
[m]V= ∫^ {π}_{ 0} ∫ ^{4sin φ}_{sin φ} ρ \cdot ρ d ρ d φ=∫^ {π}_{ 0}(∫ ^{4sin φ}_{sin φ} ρ^2 d ρ) d φ=∫^ {π}_{ 0}(\frac{ ρ^3}{3})| ^{4sin φ}_{sin φ} ) d φ=\frac{1}{3}∫^ {π}_{ 0}(64sin^3 φ-sin^3 φ) d φ=[/m]
[m]=\frac{1}{3}∫^ {π}_{ 0}(63sin^3 φ) d φ=21∫^ {π}_{ 0}sin^2 φ sin φ d φ =21∫^ {π}_{ 0}(1-cos^2 φ)d(-cos φ)=-21(cos φ -\frac{cos^3 φ }{3}=[/m]
[m]=-21(cosπ-cos0-\frac{cos^3 π}{3}+\frac{cos^30}{3}=-21(-1-1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3})=28[/m]
