Задача 62174 Провести полное исследование функции и...
Условие
Решение
Упростим выражение:
[m]\frac{x^2-2x+2}{x-1}=\frac{(x^2-2x+1)+1}{x-1}=\frac{(x-1)^2}{x-1}+\frac{1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}[/m]
Прямая [m]x=1[/m]- вертикальная асимптота, так как
[m]lim_{x → 1}\frac{x^2-2x+2}{x-1}=lim_{x → 1}(x-1)+\frac{1}{x-1}= ∞ [/m]
[m]k=lim_{x → 1}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → 1}\frac{x^2-2x+2}{x(x-1)}=1[/m]
[m]b=lim_{x → 1}(f(x)-kx)=lim_{x → 1}(\frac{x^2-2x+2}{x-1}-x)=lim_{x → 1}\frac{x^2-2x+2-x^2+x}{x-1}=lim_{x → 1}\frac{-x+2}{x-1}=-1[/m]
Прямая [m]y=x-1[/m]- наклонная асимптота
[m]y=(x-1)+\frac{1}{x-1}[/m]
[m]y1=(x-1)`+(\frac{1}{x-1})`[/m]
[m]y`=1-\frac{1}{(x-1)^2}[/m]
[m]y`=0[/m] ⇒[m] 1-\frac{1}{(x-1)^2}=0[/m] ⇒ [m] \frac{1}{(x-1)^2}=1[/m] ⇒ [m](x-1)^2=1[/m] ⇒ [m]x-1= ± 1[/m]
[m]x=0[/m]; [m]x=2[/m]
______+____ (0) ___-__ (1) ___-__ (2) ____+____
x=0 - точка максимума
x=2 - точка минимума