Задача 62125 Найти наименьшее и наибольшее значения...

61b62a3f3d9b0357b9ba9249

12.12.2021 19:59:44

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.12.2021 22:16:59

★

z`_(x)=2x+y
z`_(y)=x

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x+y=0
{x=0

(0;0) - стационарная точка , не является внутренней точкой области.

Исследуем поведение функции [b]на границе[/b]

[b]y=0[/b]

z=x^2+x*0-2

z=x^2-2 - это функция одной переменной, график парабола.

на [-1;1] функция принимает наименьшее значение при х=0

[red]z(0)=-2[/red]

Наибольшее при x= ± 1
[red]z( ± 1)=-1
[/red]

y=4x^2-4

z=x^2+x*(4x^2-4)-2

z=4x^3+x^2-4x-2 - получили функцию одной переменной.

Находим производную

z`=12x^2+2x-4

Приравниваем производную к нулю:

z`=0

12x^2+2x-4=0

6x^2+x-2=0

D=1-4*6*(-2)=49

x_(1)=-2/3; x_(2)=(1/2)

[-1] __+_ (-2/3) __-___ (1/2) ___+___[1]

x=(-2/3) - точка максимума

x=(1/2) - точка минимума


z(-2/3)=[red]4*(-2/3)^3+(-2/3)^2-4*(-2/3)-2[/red]=считаем

z(1/2)=[red]4*(1/2)^3+(1/2)^2-4*(1/2)-2[/red]=считаем


Выбираем наибольшее и наименьшее из четырех значений выделенных красным цветом