Задача 62094 Найти разность наибольших и наименьших...

6035fc7016e9eb62f3f77539

11.12.2021 17:28:06

Найти разность наибольших и наименьших корней уравнения
cos2x-cos8x+cos6x=1 соответствующих интервалу [0°;90°]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.12.2021 11:33:30

★

[m]cos2x–cos8x+cos6x=1[/m]

[m]cos2x+cos6x–cos8x -1=0[/m]

[m](cos2x+cos6x)–(1+cos8x)=0[/m]


По формуле: [r][m]cos α +cos β =2cos\frac{ α + β }{2}\cdot cos\frac{ α- β }{2}[/m][/r]

[m]cos2x +cos6x =2cos\frac{ 2x + 6x }{2}\cdot cos\frac{ 2x-6x }{2}=2cos4x\cdot cos(-2x)=2cos4x\cdot cos2x[/m]

По формуле: [r][m]1+cos α =2cos^2 \frac{ α }{2}[/m][/r]

[m]1+cos 8x =2cos^24x[/m]


[m]2cos 4x \cdot cos 2x–-2cos^24x=0[/m]

[m]2cos 4x \cdot (cos 2x–cos 4x)=0[/m]

По формуле: [r][m]cos α -cos β =- 2sin\frac{ α + β }{2}\cdot sin\frac{ α- β }{2}[/m][/r]

[m]cos 2x -cos 4x =- 2sin\frac{ 2x + 4x }{2}\cdot sin\frac{ 2x- 4x }{2}[/m]


[m]2cos 4x \cdot 2 sin3x \cdot sin 2x=0[/m]


[m]cos 4x=0[/m] ИЛИ [m]sin3x=0[/m] ИЛИ [m]sin2x=0[/m]


[m]4x=\frac{π}{2}+πn,n ∈ [/m] [b]Z[/b]ИЛИ [m]3x=πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b]ИЛИ [m]2x=πm, m ∈ [/m][b]Z[/b]


[m]x=\frac{π}{8}+\frac{π}{4}n,n ∈ [/m] [b]Z[/b]ИЛИ [m]x=\frac{π}{3}k, k ∈ [/m] [b]Z[/b]ИЛИ [m]x=\frac{π}{2}m, m ∈ [/m][b]Z[/b]


О т в е т. Отрезку [0; 90 ° ] принадлежат корни: 0рад =0 ° ; (π /8) рад=22,5 ° ; (π/3)рад =60 ° ; (π/2)рад=90 °