Задача 62093 Вычислить (с точностью до двух знаков...

61a5f1d0c77852212d164fb0

11.12.2021 16:25:45

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела,
полученного вращением фигуры вокруг указанной оси координат

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.12.2021 12:38:44

★

[m]y=3\sqrt{1-x^2}[/m] - это эллипс на [-1;1]; y ≥ 0

[m]x=\sqrt{1-y}[/m] - это часть параболы с осью симметрии Оу при y ∈ (- ∞ 1] ⇒ x ≥ 0

Эти две линии не задают никакой [red] ограниченной [/red]фигуры...

( cм. рис.)

Объем вращения вокруг оси Ох вычисляют по формуле:


[m]V_{Ox}=π ∫ ^{b}_{a}((f(x))^2-(g(x))^2)dx[/m]


[m]f(x)=3\sqrt{1-x^2}[/m]

[m]x=\sqrt{1-y}[/m] ⇒ [m]x^2=1-y[/m] ⇒ [m]y=1-x^2[/m]

[m]g(x)=1-x^2[/m]


Если фигура [red]ограничена СЛЕВА осью Оу[/red], то

[m]V_{Ox}=π ∫ ^{1}_{0}((3\sqrt{1-x^2})^2-(1-x^2)^2)dx=π ∫ ^{1}_{0}(9(1-x^2)-(1-2x^2+x^4))dx=π ∫ ^{1}_{0}(9-9x^2-1+2x^2-x^4)dx=[/m]

[m]=π ∫ ^{1}_{0}(8-7x^2-x^4)dx=π(8x-7\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5})|^{1}_{0}=π(8-7\frac{1^3}{3}-\frac{1^5}{5})=\frac{82}{15}π[/m]