Задача 62063 Кто может решить 4,5 и 7...
Условие
вычислить y(13) функции
составить уравнение касательной и нормали к кривой
Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность
Решение
Разложим дробь [m]\frac{x}{x^2-4x-12}[/m] на простейшие.
Для этого знаменатель разложим на множители по формуле: [m]ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})[/m]
[m]x^2-4x-12=(x-6)(x+2)[/m]
[m]\frac{x}{x^2-4x-12}=\frac{A}{x-6}+\frac{B}{x+2}[/m]
[m]x=A(x+2)+B(x-6)[/m]
[m]x=(A+B)x+2A-6B[/m]
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
[m]1=A+B[/m]⇒[m]A=1-B[/m]
[m]0=2A-6B[/m]
⇒[m]0=2(1-B)-6B[/m]⇒[m]8B=2[/m]⇒[m]B=\frac{1}{4}[/m]
[m]A=\frac{3}{4}[/m]
[m]\frac{x}{x^2-4x-12}=\frac{\frac{3}{4}}{x-6}+\frac{\frac{1}{4}}{x+2}[/m]
Считаем производную 1-го порядка по формуле степенной функции:
[m](x^{ α })= α `x^{ α-1 }[/m]
[m]y`=\frac{3}{4}\cdot (-1)\cdot (x-6)^{-2}\cdot (x-6)`+\frac{1}{4}\cdot (-1)\cdot (x+2)^{-2}\cdot (x+2)`[/m]
[m]y`=-\frac{3}{4}\cdot (x-6)^{-2}-\frac{1}{4}\cdot (x+2)^{-2}[/m]
Считаем производную 2-го порядка по формуле степенной функции:
[m](x^{ α })= α `x^{ α-1 }[/m]
[m]y``=-\frac{3}{4}\cdot (-2) \cdot (x-6)^{-3}-\frac{1}{4}\cdot (-2)\cdot (x+2)^{-3} (x+2)`[/m]
[m]y``=\frac{3\cdot 2}{4}\cdot (x-6)^{-3}+\frac{1\cdot 2}{4}\cdot (x+2)^{-3} [/m]
Проследить закономерность и получить ответ.....
7.
[m]\left\{\begin{matrix}x`_{t}=(\frac{1+lnt}{t^2})`\\ y`_{t}=(\frac{3+2lnt}{t})`\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}x`_{t}=\frac{(1+lnt)`\cdot t^2-(1+lnt)\cdot (t^2)`}{(t^2)^2}\\ y`_{t}=\frac{(3+2lnt)`\cdot t-(3+2lnt)\cdot t`}{t^2}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}x`_{t}=\frac{\frac{1}{t}\cdot t^2-(1+lnt)\cdot (2t)}{t^4}\\ y`_{t}=\frac{\frac{2}{t}\cdot t-(3+2lnt)\cdot 1}{t^2}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}x`_{t}=\frac{t-2t-2t\cdot lnt}{t^4}\\ y`_{t}=\frac{2-3-2lnt}{t^2}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}x`_{t}=\frac{-t-2t\cdot lnt}{t^4}\\ y`_{t}=\frac{2-3-2lnt}{t^2}\end{matrix}\right.[/m]
[m]y`_{x}=\frac{y`_{t}}{x`_{t}}=\frac{\frac{-t-2tlnt}{t^4}}{\frac{-1-2lnt}{t^2}}=\frac{1}{t}[/m]
Если [m]t_{o}=\frac{1}{e}[/m] ⇒
[m]x_{o}=\frac{1+ln\frac{1}{e}}{(\frac{1}{e})^2}[/m]⇒[m]x_{o}=\frac{1-1}{(\frac{1}{e})^2}[/m]⇒[m]x_{o}=0[/m]
[m]y_{o}=\frac{3+2ln\frac{1}{e}}{\frac{1}{e}}[/m]⇒[m]y_{o}=\frac{3-2}{\frac{1}{e}}[/m]⇒[m]y_{o}=e[/m]
[m]y`(x_{o})=\frac{1}{\frac{1}{e}}=e[/m]
Уравнение [i]касательной[/i]
[m]y-e=e\cdot (x-0)[/m]⇒[red][m]y-e=ex[/m][/red]
Уравнение [i]нормали:[/i]
[m]y-e=-\frac{1}{e}\cdot (x-0)[/m]⇒[red][m]ye-e^2=-x[/m]
[/red]
К задаче 4.
Cм. рис.
АВ=ВС=a
MN=b
ОА=R=1
АС=asqrt(2)
AM=asqrt(2)/2
MO=b/2
AO^2=AM^2+MO^2 ⇒ 1=(a^2/2)+b^2/4 ⇒ b^2=4-2a^2
V=a^2*b=a^2*sqrt((4-2a^2))
Пусть a=x
V(x)=x^2*sqrt((4-2x^2))
- исследуем функцию на экстремум
V`(x)=2x*sqrt(4-2x^2)+x^2*(1/2sqrt(4-2x^2))*(-4x)
V`(x)=(8x-6x^3)/sqrt((4-2x^2))
V`(x)=0
x=0 или x= ± sqrt(4/3) ⇒
x=sqrt(4/3) - точка максимума ⇒
a=sqrt(4/3)=2sqrt(3)/3
b^2=4-2a^2=4-(8/3)=4/3
b=sqrt(4/3)
b=2sqrt(3)/3
О т в е т. a=b=2sqrt(3)/3
