Задача 61954 Три треугольника A, B и C (см. рисунок)...

61aadf2ec8bc3b30e02473f6

04.12.2021 06:42:23

Три треугольника A, B и C (см. рисунок) равносторонние. Сумма площадей треугольников A и C составляет 100. Найдите сумму площадей оставшихся двух треугольников.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.12.2021 12:16:11

★

A=a^2sqrt(3)/4

B=b^2sqrt(3)/4

C=c^2sqrt(3)/4



A+C=100 ⇒ [b]a^2sqrt(3)/4+ c^2sqrt(3)/4=100 [/b]⇒ [red]a^2+c^2=400sqrt(3)/3[/red]

Cм. рис.

Найдем угол серого треугольника


S_(серого)=(1/2)a*c*sin60 ° =a*c*sqrt(3)/4

По теореме косинусов:

b^2=a^2+c^2-2ac*cos60 ° =[red]a^2+c^2[/red]-ac=[red]400sqrt (3)/3[/red]-ac


Найти

b^2sqrt(3)/4+a*c*sqrt(3)/4=[red]400sqrt (3)/3[/red]*(sqrt(3)/4)-ac*sqrt(3)/4+ac*sqrt(3)/4=100


О т в е т. 100