Задача 61929 Точки А(4;0)и В(6;8) являются вершинами...

61a8f5ec6f44211c4f6788a9

02.12.2021 19:40:30

Точки А(4;0)и В(6;8) являются вершинами треугольника, а точка Д(5;1)- точкой пересечения его высот. Найти третью вершину треугольника.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.12.2021 22:09:42

1) Составляем уравнение стороны АВ.

y=kx+b

A(4;0) ⇒ 0=4k+b

B(6;8) ⇒ 8= 6k+b ⇒ Вычитаем из второго уравнения первое:

2k=8;

k=4

k_(AB)=4


2) Составляем уравнение высоты к стороне АВ, значит высота проводится из точки С


Высота из точки С перпендикулярна стороне АВ

Так как произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1):

k(CD)=-1/4

y=(-1/4)x+b

Подставляем координаты точки D и находим b:

1=(-1/4)*5+b

b=9/4


y=(-1/4)x+(9/4) - уравнение высоты из точки С на прямую АВ

3)
Составляем уравнение высоты из точки В. Высота проходит через две точки В и D

y=kx+b

В(6;8)

8=6k+b

D(5;1)

1=5k+b

Вычитаем из первого уравнения второе, получаем

7=k

k_(BD)=7

4)
Составляем уравнение стороны АС:

k_(AC)*k_(BD)=-1

k_(AC)=-(1/7)


y=-(1/7)x+b

Подставляем координаты точки А:

0=(-1/7)*4+b

b=4/7


y=-(1/7)x+(4/7)



5) Находим координаты точки С
С- точка пересечения прямой АС и высоты СD

Решаем систему уравнений

{y=-(1/7)x+(4/7)
{y=(-1/4)x+(9/4)

-(1/7)x+(4/7)=(-1/4)x+(9/4)

(1/4)x-(1/7)x=(9/4)- (4/7)

(3/28)x=47/28


x_(C)=47/3


y_(C)=(-1/4)*(47/3)+(9/4)

y_(C)=(-47/12)+(27/12)

y_(C)=-20/12=-5/3

О т в е т. С (47/3; -5/3)