Задача 61917 Исследуйте методами дифференциального...

61a0e89400f9a26182e45627

02.12.2021 14:21:35

Исследуйте методами дифференциального исчисления функцию и, используя
результаты исследования, постройте ее график:
y=(1)/(4)x4–x3+x2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.12.2021 15:41:01

★

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

[m]y`=(\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2)`[/m]

[m]y`=\frac{1}{4}\cdot 4x^3-3x^2+2x[/m]

[m]y`=x^3-3x^2+2x[/m]

y`=0

[m]x^3-3x^2+2x=0[/m]

[m]x\cdot (x^2-3x+2)=0[/m]

[m]x=0; x=1; x=2[/m]

D=9-4*2=1


[m]x_{1}=\frac{3-2}{2|=1[/m];[m] x_{2}=\frac{3+1}{2}=2[/m]

__-__ (0) __+__ (1) __-__ (2) __+__


y`< 0 на(- ∞;0) и на (1 ;2), значит функция убывает на(- ∞;0) и на (1 ;2)

y`>0 на (0;1) и на (2;+ ∞ ), значит функция возрастает на (0;1) и на (2;+ ∞ ).



х=1 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -


у(1)=(1/4)*(1)^4-(1)^3+(1)^2=1/4=0,25

х=0 и x=2 - точки минимума, так как производная меняет знак с - на +

y(0)=y(2)=0

y``=x^3-3x^2+2x)`=3x^2-6x+2

y``=0

3x^2-6x+2=0

D=(-6)^2-4*3*2=36-24=12

[m]x_{1,2}=\frac{6 ± 2\sqrt{3}}{6|[/m];


[m] x_{1,2}=\frac{3 ± \sqrt{3}}{3}[/m]

[m] x_{1,2}=\frac{3 ± \sqrt{3}}{3}[/m] - точки перегиба, так как вторая производная меняет


Функция выпукла вниз на ( (- ∞ ; [m] \frac{3 - \sqrt{3}}{3}[/m]) и на ([m] \frac{3 + \sqrt{3}}{3}[/m];+ ∞ )

Функция выпукла вверх на ( [m] \frac{3 - \sqrt{3}}{3}[/m]; [m] \frac{3 + \sqrt{3}}{3}[/m])