Задача 61905 Решить пределы с помощью формулы...

6193afee7c282c3a2a3c7b9f

01.12.2021 18:41:14

Решить пределы с помощью формулы U^v=e^(v*ln u)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.12.2021 00:18:14

★

Замена переменной:

[m]x-3=t[/m] ⇒ [m]x=t+3[/m]

[m]x → 3[/m] ⇒ [m]t → 0[/m]


[m]lim_{x → 3}(\frac{sinx}{sin3})^{\frac{1}{x-3}}=lim_{t→ 0}(\frac{sin(t+3)}{sin3})^{\frac{1}{t}}=lim_{t→ 0}e^{\frac{1}{t}\cdot ln(\frac{sin(t+3)}{sin3}}=lim_{t→ 0}e^{\frac{ln(\frac{sin(t+3)}{sin3})}{t}}=e^{lim_{t→ 0}\frac{ln(\frac{sin(t+3)}{sin3})}{t}}=[/m]

применяем правило Лопиталя:


[m]=lim_{t→ 0}\frac{(ln(\frac{sin(t+3)}{sin3}))`}{(t)`}=lim_{t→ 0}\frac{\frac{sin3}{sin(t+3)}\cdot (\frac{sin(t+3)}{sin3})`}{1}=lim_{t→ 0}\frac{sin3}{sin(t+3)}\cdot \frac{1}{sin3}\cdot cos(t+3)=\frac{cos3}{sin3}=ctg3[/m]