Задача 61904 Решить уравнение...
Условие
Решение
{x ≥ 0
{x+1 >0
{(x+1)/x ≥ 0
⇒
(0;+ ∞ )
Тогда
[m]\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}[/m]
[i]Замена переменной[/i]
[m]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}=t[/m] ⇒ [m]\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{t}[/m] ⇒
[m]t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}[/m] ⇒ [m]2t^2-5t+2=0[/m]
[m]t_{1}=\frac{1}{2}[/m]; [m]t_{2}=2[/m]
Обратно:
[m]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2}[/m] ⇒ Возводим в квадрат [m]\frac{x}{x+1}=\frac{1}{4}[/m] ⇒ [m]4x=x+1[/m]
[m]x=\frac{1}{3}[/m] входит в ОДЗ
[m]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}=2[/m] ⇒ Возводим в квадрат [m]\frac{x}{x+1}=4[/m] ⇒ [m]4(x+1)=x[/m]
[m]x=-\frac{4}{3}[/m] не входит в ОДЗ
О т в е т. [m]x=\frac{1}{3}[/m]
Все решения
