Задача 61893 Даны функция z = z(x, y) и точка ( y) M...

61a0e89400f9a26182e45627

30.11.2021 18:59:32

Даны функция z = z(x, y) и точка ( y) M x, . Найдите: а) grad z(M ); б) производную этой функции в точке M (x, y) по направлению вектора OM (точка О –
начало координат)
z=2x^(2)+3xy+y^(2) , M(1,1).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.11.2021 22:02:47

★

a)
[m]\vec{grad z}=\frac{ ∂z }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }\vec{j}[/m]

Находим

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(2x^2+3xy+y^2)`_{x}=4x+3y[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(2x^2+3xy+y^2)`_{y}=3x+2y[/m]


[m]\vec{grad z}|_{M}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{M}\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{M}\vec{j}[/m]

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{M}=4\cdot1+3\cdot1=7[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{M}=3\cdot1+2\cdot1=5[/m]

[m]\vec{grad z}|_{A}=7\vec{i}+5\vec{j}[/m]


б)
[m]\vec{OM}=(1-0;1-0)=(1;1)[/m]

[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }=\frac{ ∂z }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }cos β [/m]

[m]\vec{OM}=(1-0;1-0)=(1;1)[/m]

[m]|\vec{OM}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/m]

[m]cos α =\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]; [m]cos β =\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]


[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{M}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{M}cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{M}cos β[/m]


[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{M}=7\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+5\cdot \frac{1 }{\sqrt{2} }=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2} [/m]