Задача 61891 Провести полное исследование и построить...
Условие
Решение
[m]x^2-1 >0 [/m]⇒[m] (x-1)(x+1) >0[/m] ⇒ [m] x <-1[/m] или [m]x>1[/m]
x= ± 1 - вертикальные асимптоты.
так как [m] lim_{x → -1-0}\frac{2x^2-9}{\sqrt{x^2-1}}= -∞ [/m]
[m] lim_{x → -1+0}\frac{2x^2-9}{\sqrt{x^2-1}}= -∞ [/m]
[m]y`=(\frac{2x^2-9}{\sqrt{x^2-1}})`[/m]
[m]y`=\frac{(2x^2-9)`\cdot \sqrt{x^2-1}-(2x^2-9)\cdot (\sqrt{x^2-1})`}{(\sqrt{x^2-1})^2}[/m]
[m]y`=\frac{4x\cdot \sqrt{x^2-1}-(2x^2-9)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot (x^2-1)`}{x^2-1}[/m]
[m]y`=\frac{4x\cdot \sqrt{x^2-1}-(2x^2-9)\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}[/m]
[m]y`=\frac{4x(x^2-1)-(2x^2-9)x}{\sqrt{x^2-1}\cdot (x^2-1)}[/m]
[m]y`=\frac{4x^3-4x-2x^3+9x}{\sqrt{x^2-1}\cdot (x^2-1)}[/m]
[m]y`=\frac{2x^3+5x}{\sqrt{x^2-1}\cdot (x^2-1)}[/m]
y`<0 при x < -1 ⇒ функция убывает на (- ∞ ; -1)
y`>0 при x > 1 ⇒ функция возрастает на (1; +∞ )
