Задача 61847 Провести полное исследование и построить...
Условие
Решение
Вертикальных асимптот нет
2) Функция не является ни четной, ни нечетной
[m]у(–х)=(1-\frac{2(-x)}{(-x)^2+1})=1+\frac{2x}{x^2+1}[/m]
y(–x) ≠ y(x)
y(–x) ≠- y(x)
3)lim_(x→ +∞)f(x)=lim_(x→ +∞)[m](1-\frac{2x}{x^2+1})[/m]=1
lim_(x→–∞)f(x)=lim_(x→ -∞)[m](1-\frac{2x}{x^2+1})[/m]=1
y=1 -[i] горизонтальная асимптота[/i]
Наклонной асимптоты нет, так как
[m]k=lim_{x→∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x→∞}\frac{(1-\frac{2x}{x^2+1})}{x}=lim_{x→∞}(\frac{1}{x}-\frac{2x}{(x^2+1)\cdot x})=0[/m]
4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
[m]1-\frac{2x}{x^2+1}=0[/m]
[m]\frac{x^2+1-2x}{x^2+1}=0[/m]
[m]\frac{(x-1)^2}{x^2+1}=0[/m]
[m](x-1)^2=0[/m]
[m]x-1=0[/m]
[m]x=1[/m]
(1;0)-точка пересечения с осью Ох.
C осью Оу
х=0 ⇒[m]y(0)=1-\frac{2\cdot 0}{0+1}=1[/m]
(0;1)-точка пересечения с осью Оу.
5)
[m]y`=(1-\frac{2x}{x^2+1})`=(1)`-(\frac{2x}{x^2+1})`=0-\frac{(2x)`\cdot (x^2+1)-2x\cdot (x^2+1)`}{(x^2+1)^2}=-\frac{2\cdot (x^2+1)-2x\cdot (2x)}{(x^2+1)^2}=-\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2-2}{(x^2+1)^2}[/m]
y`=0
2x^2-2=0
x=1 или x=-1
Знак производной
__ + __ (-1) _-_ (1) ___+__
y`< 0 при x∈ (–1;1)
Функция [i]убывает[/i] при x∈ (–1;1)
y`>0 при x∈(-∞;-1) и при х∈ (1;+∞)
Функция [i]возрастает[/i] при x∈(-∞;-1) и при х∈ (1;+∞)
x=1– точка минимума, производная меняет знак с – на +
у(1)=0 - [i]наименьшее[/i] значение функции
x=-1 - точка максимума
y(-1)=2 -[i] наибольшее[/i] значение функции
6)[m]y``=(y`_{x})`_{x}=(\frac{2x^2-2}{(x^2+1)^2})`_{x}=\frac{4x\cdot (x^2+1)^2-(2x^2-2)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}[/m]
[m]y``=\frac{4x\cdot (x^2+1)-(2x^2-2)\cdot 2\cdot 2x}{(x^2+1)^3}[/m]
[m]y``=\frac{-4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}[/m]
y``=0
4x^3-8x^2+12x=0
4x*(x^2-2x+3)=0
x=0; x=[m]±\sqrt{3}[/m] –точки перегиба,
вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вниз на (– ∞ ; - √3 ) и на (0;√3)
выпукла вверх на ( - √3;0 ) и на (√3 ;+ ∞ )