Задача 61844 Решить предел без использования правила...
Условие
математика ВУЗ
178
Решение
★
[m]x-2=t[/m] ⇒ [m]x → 2[/m] ⇒ [m]t → 0[/m]
[m]x=t+2[/m]
[m]lim_{x → 2}\frac{(2^{sinπx}-1)}{ln(x^-2x+1)}=lim_{t → 0}\frac{(2^{sinπ(t+2)}-1)}{ln((t+2)^-2(t+2)+1)}=[/m]
[blue]так как [m]sinπ(t+2)=sin(πt+2π)=sinπt[/m]
[/blue]
[m]=lim_{t → 0}\frac{(2^{sinπt}-1)}{ln(t^2+2t+1)}=lim_{t → 0}\frac{sin πt\cdot ln2}{ln(t^2+2t+1)}=[/m]
[blue]так как [m]sinx ∼ x [/m] и [m]ln(x+1) ∼ x[/m] при [m]x → 0[/m][/blue]
[m]= ln2\cdot lim_{t → 0}\frac{sin πt}{πt}\cdot \frac{πt}{t^2+2t}= ln2\cdot 1\cdot lim_{t → 0} \frac{πt}{t(t+2)}=[/m]
[m]=π\cdot ln2\cdot lim_{t → 0} \frac{1}{(t+2)}=π\cdot ln2\cdot \frac{1}{2}=\frac{π\cdot ln2}{2}[/m]