Задача 61823 Решите систему дифференциальных...
Условие
{ 2x”-x’+x-y’ = sint
{ y’+2x’-x = 2t
x(0)=0; y(0) = 1
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}2x``-x`+x-(x-2x`+2t)=sint\\x=y`+2x`-2t\end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}2x``+x`=sint-2t\\x=y`+2x`-2t\end {matrix}\right.[/m]
Получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[m] 2x``+x`=sint-2t[/m]
Решаем однородное
[m] 2x``+x`=0[/m]
Составляем характеристическое уравнение:
[m] 2k^2+k=0[/m]
[m]k\cdot (2k+1)=0[/m]
[m]k_{1}=0; k_{2}=-\frac{1}{2}[/m]
[m]y_(общее одн)=С_{1}e^{0t}+C_{2}e^{-\frac{1}{2}t}[/m]⇒ [m]y_(общее одн)=С_{1}+C_{2}e^{-\frac{1}{2}t}[/m]
Так как правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет специальный вид
[m]f(t)=sint-2t[/m]
[m]f_{1}(t)=sint[/m]; [m]f_{2}(t)=-2t[/m]
[m]x_{1 частное }(t)=Asint+Bcost[/m]; [m]x_{2 частное}(t)=t(mt+n)[/m]
Находим
[m]x`_{1 частное }(t)=Acost-Bsint[/m];
[m]x``_{1 частное }(t)=-Asint-Bcost[/m];
Подставляем в уравнение:
[m] 2x``+x`=sint[/m]
[m] 2\cdot (-Asint-Bcost)+(Acost-Bsint)=sint[/m] ⇒
[m]-2A-B=1[/m]
[m]-2B+A=0[/m]⇒ [m]A=2B[/m]
[m]-2\cdot (2B)-B=1[/m]
[m]A=-\frac{1}{5}[/m]
[m]B=-\frac{1}{10}[/m]
[m]x_{1 частное }(t)=-\frac{1}{5}sint-\frac{1}{10}cost[/m];
Находим
[m]x`_{2 частное}(t)=2mt+n[/m];
[m]x``_{2частное }(t)=2m[/m];
Подставляем в уравнение:
[m] 2x``+x`=-2t[/m]
[m] 2\cdot (2m)+(2mt+n)=-2t[/m] ⇒
[m]2m=-2[/m]
[m]4m+n=0[/m]
m=-1
n=4
[m]x_{2 частное}(t)=(-t+4)\cdot t[/m];
x_(общее неоднород)=x_(общее однород)+x_(1частное)+x_(2частное)
x_(общее неоднород)=[m]С_(1)e^{0t}+C_(2)e^{-\frac{1}{2}t}+-\frac{1}{5}sint-\frac{1}{10}cost+(-t+4)\cdot t[/m];
Подставляем во второе уравнение системы:
[m]x=y`+2x`-2t[/m]
[m]С_{1}+C_{2}e^{-\frac{1}{2}t}-\frac{1}{5}sint-\frac{1}{10}cost+(-t+4)\cdot t=y`+2\cdot (С_{1}+C_{2}e^{-\frac{1}{2}t}-\frac{1}{5}sint-\frac{1}{10}cost+(-t+4)\cdot t)`-2t[/m]
и решаем дифференциальное уравнение первого порядка...