Задача 61793 решить вариант 6 ...
Условие
Решение
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
[m]u`\cdot v+u\cdot v` +\frac{1}{1+x^2}\cdot u\cdot v=\frac{arctgx}{1+x^2}[/m]
Группируем
[m]u`\cdot v+(u\cdot v` +\frac{1}{1+x^2}\cdot u\cdot v)=\frac{arctgx}{1+x^2}[/m]
[m]u`\cdot v+u\cdot ( v` +\frac{1}{1+x^2}\cdot v)=\frac{arctgx}{1+x^2}[/m]
Полагаем
[m]( v` +\frac{1}{1+x^2}\cdot v)=0[/m]
Тогда
[m]u`\cdot v+u\cdot (0)=\frac{arctgx}{1+x^2}[/m]
Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
[m]( v` +\frac{1}{1+x^2}\cdot v)=0[/m] ⇒ [m]\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}\cdot v[/m] ⇒
[m]\frac{dv}{x}=-\frac{dx}{1+x^2}[/m] ⇒ [m]lnv=-arctgx[/m] ⇒ [m]v=e^{-arctgx}[/m] С =0
[m]u`\cdot v+u\cdot (0)=\frac{arctgx}{1+x^2}[/m]
[m]u`\cdot e^{-arctgx}=\frac{arctgx}{1+x^2}[/m]
[m]u`= e^{arctgx}\cdot \frac{arctgx}{1+x^2}[/m]
[m]u= ∫ e^{arctgx}\cdot \frac{arctgx}{1+x^2}dx[/m]
Замена переменной: [m] arctgx=t ⇒ d(actgx)=\frac{dx}{1+x^2}[/m]
[m]u= ∫ e^{t}\cdot tdt[/m]
Интегрируем по частям
[m]u=te^{t}- ∫ e^{t}dt=te^{t}- e^{t} +C[/m]
[m]u=arctgx\cdot e^{arctgx}- e^{arctgx} +C[/m]
[m]y=u\cdot v[/m]
[m]y=(arctgx\cdot e^{arctgx}- e^{arctgx} +C)\cdot e^{-arctgx}[/m]
[m]y=arctgx- 1+C\cdot e^{-arctgx}[/m]- общее решение
y(0)=1
[m]1=arctg0-1+C\cdot e^{-arctg0}[/m] ⇒ C=2
[m]y=arctgx- 1+2\cdot e^{-arctgx}[/m]- частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию