Задача 61790 Нужно решить 3 вариант...
Условие
Решение
z_(1)+z_(2)=(7+2*i)+(3-8*i)=7+2*i+3-8*i=[b]10-6*i[/b]
2)
z_(1)-z_(2)=(7+2*i)-(3-8*i)=7+2*i-3+8*i=[b]4+10*i[/b]
3)
z_(1)*z_(2)=(7+2*i)*(3-8*i)=7*3+2*i*3+7*(-8*i)+(2*i)*(-8*i)=
=21+6*i-56*i-16*i^2
(так как i^2=-1)
=21+6*i-56*i+16=[b]37-50*i[/b]
4)
[m]z_{1}:z_{2}=\frac {z_{1}}{z_{2}}=\frac{ 7+2\cdot i}{3-8 \cdot i}=[/m]
( умножаем и числитель и знаменатель на (3+8*i)
[m]=\frac{( 7+2\cdot i)(3+8 \cdot i)}{(3-8 \cdot i)(3+8 \cdot i)}=[/m]
применяем формулу разности квадратов в знаменателе
[m]=\frac{7\cdot 3+2\cdot i\cdot 3+7\cdot 8\cdot i+2\cdot i\cdot 8\cdot i)}{(3)^2-(8i)^2}=\frac{21+6\cdot i+56\cdot i-16}{9+64}[/m]
[m]=\frac{9+62\cdot i}{73}=\frac{9}{73}+\frac{62}{73}\cdot i[/m]
5)
[m]z_{2}:z_{1}=\frac {z_{2}}{z_{1}}=\frac{3-8 \cdot i}{ 7+2\cdot i}=[/m]
( умножаем и числитель и знаменатель на (7-2*i)
[m]={(3-8 \cdot i)(7-2 \cdot i)}\frac{( 7+2\cdot i)(7-2 \cdot i)}=[/m]
применяем формулу разности квадратов в знаменателе
[m]=\frac{3\cdot 7-8\cdot i\cdot 7+3\cdot(-2\cdot i)-8\cdot i\cdot(- 2\cdot i)}{(7)^2-(2i)^2}=\frac{21-56\cdot i-6\cdot i-16}{49+4}[/m]
[m]=\frac{5-62\cdot i}{53}=\frac{5}{53}-\frac{62}{53}\cdot i[/m]
6)
Представим число z_(3) в тригонометрической форме
z=x+i*y
|z|=sqrt(x^2+y^2)
cos φ =x/|z|
sin φ =y/z
[m]z=1-\sqrt{3}\cdot i[/m]
[m]x=1[/m];[m] y=-\sqrt{3}[/m]
[m]|z|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2[/m]
cos φ =x/|z|=1/2
sin φ =y/z=-sqrt(3)/2
угол в 4 четверти
φ =-π/3
Значит
[m]1-\sqrt{3}\cdot i=2\cdot (cos(\frac{π}{3})+isin(-\frac{π}{3}))[/m]
7)
По формуле Муавра ( cм. скрин 1):
[m]z^6_{3}=(1-\sqrt{3}\cdot i)^{6}=(2\cdot (cos(\frac{π}{3})+isin(-\frac{π}{3})))^{6}=2^{6}\cdot (cos(6\cdot (-\frac{π}{3})+isin(6\cdot (-\frac{π}{3})=[/m]
[m]=64\cdot (cos(-2π)+isin(-2π)=64\cdot (1+i\cdot 0)=64[/m]
О т в е т. z^6_(3)=64
8)
[m]\sqrt[4]{z_{3}}=[/m]
по формуле Муавра ( cм. скрин 2)
[m]\sqrt[4]{1-\sqrt{3}\cdot i}=\sqrt[4]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{π}{3})+2πk}{4}+i\cdot sin\frac{(-\frac{π}{3})+2πk}{4} [/m]
при k=0
первый корень
z_(o)[m]=\sqrt[4]{2}(cos\frac(-{π}{12})+isin(-\frac{π}{12}))[/m]
при k=1
второй корень
z_(1)[m]=\sqrt[4]{2}(cos\frac{(-\frac{π}{3})+2 \pi }{4}+isin\frac{(-\frac{π}{3})+2 \pi }{4})=\sqrt[4]{2}(cos\frac{5π}{12}+isin\frac{5π}{12})[/m]
при k=2
третий корень
z_(3)[m]=\sqrt[4]{2}(cos\frac{(-\frac{π}{3})+4 \pi }{4}+isin\frac{(-\frac{π}{3})+4 \pi }{4})=\sqrt[4]{2}(cos\frac{11π}{12}+isin\frac{11π}{12})[/m]
при k=3
четвертый корень
z_(3)[m]=\sqrt[4]{2}(cos\frac{(-\frac{π}{3})+6 \pi }{4}+isin\frac{(-\frac{π}{3})+6 \pi }{4})=\sqrt[4]{2}(cos\frac{17π}{12}+isin\frac{17π}{12})[/m]
Корни расположены на окружности радиуса
[m]\sqrt[4]{2}[/m]
Точки z_(o); ;z_(1);z_(2); ;z_(3) делят окружность на четыре ( потому что корень четвертой степени) равные части , каждая по 90 градусов
(cм. рис )
