Задача 61764 Исследуйте функцию ????(????) и...
Условие
Решение
Область определения (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ )
Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической
Область определения [b]не симметрична[/b] относительно 0
и
[m]y(-x) ≠ y(x)[/m] и [m]y(-x) ≠- y(x)[/m]
Прямая [m] x=-3 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой.
Так как [m] lim_{x → -2-0}\frac{ x^2+12}{x+2}=- ∞ [/m]
[m] lim_{x → -2+0}\frac{ x^2+12}{x+2}=+ ∞ [/m]
[i]Горизонтальных[/i] асимптот нет, так как
[m] lim_{x → ∞}\frac{ x^2+12}{x+2}= ∞ [/m]
Наклонная асимптота:
[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{ x^2+12}{x(x+2)}= 1 [/m]
[m]k=1[/m]
[m]b= lim_{x → ∞}(\frac{ x^2+12}{x+2}-x)= lim_{x → ∞}\frac{x^2+12-x^2-2x}{x+2}= lim_{x → ∞}\frac{-2x+12}{x+2}=-2[/m]
[m]y=x-2[/m] - [i] наклонная асимптота[/i].
Исследование функции с помощью первой производной:
f`(x)=((x^2+12)`*(x+2)-(x^2+12)*(x+2)`)/(x+2)^2
f`(x)=((2x)*(x+2)-(x^2+12)*1)/(x+2)^2
f`(x)=(2x^2+4x-x^2-12)/(x+2)^2
f`(x)=(x^2+4x-12)/(x+2)^2
f`(x)=0
x^2+4x-12=0
D=16-4*(-12)=16+48=64
x_(1)=-6; x_(2)=2
Знак производной на ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
____+___ (-6) __-___ (-2) ____- __ (2) ___+___
y`>0 ⇒ функция возрастает на (- ∞ ;-6) и на (2;+ ∞ )
y`<0 ⇒ функция убывает на (- 6 ;-2) и на (-2;2)
x=-6 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
f(-6)=((-6)^2+12)/(-6+2)=-12
x=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
f(2)=(2^2+12)/(2+2)=16/4=4
Исследование функции с помощью второй производной:
f`(x)=(x^2+4x-12)/(x+2)^2=(x^2+4x-12)/(x^2+4x+4)=(x^2+4x+4-16)/(x^2+4x+4)=1-(16/(x+2)^2)
f``(x)=(f`(x))`=(1-(16/(x+2)^2))`=-16*(-1/(x+2)^4)*((x+2)^2)`=-16*2(x+2)/(x+2)^4=-16/(x+2)^3
f``(x) <0 при x ∈ (- ∞ :-2) ⇒ кривая выпукла [b]вверх[/b]
f``(x) >0 при x ∈ (-2;+ ∞ ) ⇒ кривая выпукла [b]вниз[/b]
