Задача 61723 Исследовать непрерывность функции f (x)....
Условие
Решение
На (0;2) функция непрерывна, так как y=x^2 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На (2;3) функция непрерывна, так как y=2x непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На (3;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=-1/(x-3) непрерывна на (– ∞ ;3) U(3;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0 ; х=2; x=3
1) x=0
Находим предел слева:
lim_(x → –0)f(x)=lim_(x → –0)(x–1)=-1
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x →+0)(x^2)=0
предел слева ≠ пределу справа
Функция не имеет предела в точке.
Функция имеет конечный скачок в точке
значит это точка разрыва первого рода
2)
x=2
Находим предел слева:
lim_(x →2 –0)f(x)=lim_(x →2 –0)(x^2)=4
Находим предел справа:
lim_(x → 2+0)f(x)=lim_(x →2+0)(2x)=4
предел слева = пределу справа ⇒ функция имеет предел в точке
Предел функции в точке равен значению функции в точке 2
х=2 – точка непрерывности
3)
x=3
Находим предел слева:
lim_(x →3 –0)f(x)=lim_(x →3 –0)(2x)=6
Находим предел справа:
lim_(x →3 +0)f(x)=lim_(x → 3+0)(-1/(x-3)))=- ∞
Функция имеет правосторонний бесконечный предел.
Значит х=3 – точка разрыва второго рода
