Задача 61699 Провести полное исследование и построить...
Условие
Решение
x ≠ ± 0,5
[b](- ∞ ;-0,5) U (-0,5;0,5) U(0,5;+ ∞ )[/b]
x= ± 0,5 - вертикальные асимптоты, так как
lim_(x → [b]± 0,5[/b])f(x)=lim_(x → [b]± 0,5[/b])[m]\frac{4x^2-3x}{4x^2-1}=[/m][b] ∞[/b]
y=1 - горизонтальная асимптота , так как
lim_(x → ∞ )f(x)=lim_(x → ∞ )[m]\frac{4x^2-3x}{4x^2-1}=[/m] [b]1[/b]
Упростим выражение (выделим целую часть):
[m]\frac{4x^2-3x}{4x^2-1}=\frac{4x^2-1+1-3x}{4x^2-1}=\frac{4x^2-1}{4x^2-1}+\frac{1-3x}{4x^2-1}=1+\frac{1-3x}{4x^2-1}[/m]
[m]y`=(1+\frac{1-3x}{4x^2-1})`=1`+(\frac{1-3x}{4x^2-1})`=0+\frac{(1-3x)`\cdot (4x^2-1)-(1-3x)\cdot (4x^2-1)`}{(4x^2-1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{(-3)\cdot (4x^2-1)-(1-3x)\cdot (8x)}{(4x^2-1)^2}[/m]
[m]y`= \frac{-12x^2+3-8x+24x^2}{(4x^2-1)^2}[/m]
[m]y`= \frac{12x^2-8x+3}{(4x^2-1)^2}[/m]
y`=0
12x^2 -8x+3=0
D < 0
значит
12x^2 -8x+3>0
и
(4x^2-1)^2>0
y` > 0 ⇒ Функция монотонно [i]возрастает[/i] на (- ∞ ;-0,5) U (-0,5;0,5) U(0,5;+ ∞ )
[m]y``= (\frac{12x^2-8x+3}{(4x^2-1)^2})`[/m]
Упростим выражение (выделим целую часть):
[m]y``= (\frac{12x^2-3-8x+6}{(4x^2-1)^2})`= (\frac{12x^2-3}{(4x^2-1)^2}+\frac{(-8x+6)}{(4x^2-1)^2})`=(\frac{3(4x^2-1)}{(4x^2-1)^2})`+(\frac{(-8x+6)}{(4x^2-1)^2})`=[/m]
[m]y``=(\frac{3}{4x^2-1})`+(\frac{(-8x+6)}{(4x^2-1)^2})`=-\frac{3}{(4x^2-1)^2}\cdot (4x^2-1)`+\frac{(-8)\cdot (4x^2-1)^2-2(4x^2-1)\cdot 8x\cdot (-8x+6)}{(4x^2-1)^4}[/m]
[m]y``=-\frac{3\cdot 8x}{(4x^2-1)^2}+\frac{(-8)\cdot (4x^2-1)-2\cdot 8x\cdot (-8x+6)}{(4x^2-1)^3}[/m]
[m]y``=\frac{-96x^3+96x^2-72x+8}{(4x^2-1)^3}[/m]
y``=0 при x ≈ 0,1 ( cм. рис. 2) Кривая y=-96x^3+96x^2-72x+8 пересекает ось Ох в точке x ≈0,131
y`` > 0 ⇒ на (- ∞ ;-0,5) U (≈ 0,1;0,5) Функция выпукла [i]вниз[/i] на (- ∞ ;-0,5) U ( ≈ 0,1;0,5)
y`` < 0 ⇒ на(-0,5; ≈ 0,1) U(0,5;+ ∞ ) Функция выпукла [i]вверх [/i] на (-0,5;≈ 0,1) U(0,5;+ ∞ )
x≈ 0,1 - [i] точка перегиба.[/i]
